Kraftfeld, Arbeit und Ortsvektor

    Guten Abend zusammen

    ich habe eine Frage wegen einer Aufgabe, die hier steht:

    http://fs5.directupload.net/images/171104/xgyima5z.png


    Kann jemand bitte erklären, wie ich das skizziere und die Arbeit Bezug auf dem Ortsvektor integriere?

    Ich habe das hier so skizziert für Aufgaben a und b:

    http://fs1.directupload.net/images/171104/2tfbibjj.jpg

    aber es sieht nicht richtig aus. Beide Stelle sind gleich aber unterschiedliche Wege (klar) aber wenn ich die Arbeit für die Kraft von den drei Aufgaben berechne, hat das Integral von der Kraft nichts mit dem Weg zu tun. Also ist die Integration von null bis 2 immer das gleiche...was soll ich mit dem Ortsvektor dann machen? Muss ich r in F einsetzen für jede Fälle? Also, von jede x Komponente von r muss ich das in F einsetzen und DANN integrieren?


    Ich danke Euch im Voraus!

    Zunächst schreibe ich die Kräfte und Wege als Vektoren, das finde ich übersichtlicher.
    [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3x-2y) \\ b(y-2x) \\ 0 \end{array} \right) [/TEX]
    Die dritte Koordinate kann man bei dieser Aufgabe eigentlich weglassen.

    a) [TEX]\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -t \\ -t \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
    Einsetzen in F: [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3 \cdot (-t) - 2 \cdot (-t)) \\ b(-t - 2 \cdot (-t) \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

    entsprechend:
    b) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (3t-t^2)a \\ (0,5t^2 - 2t)b \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
    c) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (6 cos(t) + 6 sin(t))ac \\ (-4 cos(t) - 3 sin(t))bc \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

    Die Arbeit ist ja eine skalare Größe, d.h. man kann hier nicht jede Komponente integrieren. Das was jetzt folgt, ist unsicher, ich weiß nicht, ob ich das noch richtig in Erinnerung habe.
    [TEX]W = \int F(r) dr = \int F(r) \frac{dr}{dt} dt[/TEX] , d.h. der WEG müsste nach jeder Komponenten abgeleitet werden, dann rechne ich das Skalarprodukt von F * r aus und dann integriere ich.

    a) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) dt = \int_0^2 (ta - tb) dt = [ 0,5 t^2 (a-b) ]_0^2 = 2(a-b)[/TEX]

    b) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} (3t-t²)a \\ (0,5t²-2t)b \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ 0 \end{array} \right) dt[/TEX]
    [TEX]= \int_0^2 ( (3t - t^2)a + (0,5 t^3 - 2 t^2)b ) dt = [(1,5 t² - \frac{1}{3} t^3)a + (\frac{1}{8} t^4 - \frac{2}{3} t^3)b]_0^2 = \frac{10}{3} a - \frac{10}{3} b[/TEX]

    Bei c) sollte die Arbeit 0 sein, da es ein geschlossener Weg ist (siehe Skizze)