Kraftfeld, Arbeit und Ortsvektor

Zunächst schreibe ich die Kräfte und Wege als Vektoren, das finde ich übersichtlicher.
[TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3x-2y) \\ b(y-2x) \\ 0 \end{array} \right) [/TEX]
Die dritte Koordinate kann man bei dieser Aufgabe eigentlich weglassen.

a) [TEX]\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -t \\ -t \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
Einsetzen in F: [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3 \cdot (-t) - 2 \cdot (-t)) \\ b(-t - 2 \cdot (-t) \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

entsprechend:
b) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (3t-t^2)a \\ (0,5t^2 - 2t)b \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
c) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (6 cos(t) + 6 sin(t))ac \\ (-4 cos(t) - 3 sin(t))bc \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

Die Arbeit ist ja eine skalare Größe, d.h. man kann hier nicht jede Komponente integrieren. Das was jetzt folgt, ist unsicher, ich weiß nicht, ob ich das noch richtig in Erinnerung habe.
[TEX]W = \int F(r) dr = \int F(r) \frac{dr}{dt} dt[/TEX] , d.h. der WEG müsste nach jeder Komponenten abgeleitet werden, dann rechne ich das Skalarprodukt von F * r aus und dann integriere ich.

a) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) dt = \int_0^2 (ta - tb) dt = [ 0,5 t^2 (a-b) ]_0^2 = 2(a-b)[/TEX]

b) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} (3t-t²)a \\ (0,5t²-2t)b \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ 0 \end{array} \right) dt[/TEX]
[TEX]= \int_0^2 ( (3t - t^2)a + (0,5 t^3 - 2 t^2)b ) dt = [(1,5 t² - \frac{1}{3} t^3)a + (\frac{1}{8} t^4 - \frac{2}{3} t^3)b]_0^2 = \frac{10}{3} a - \frac{10}{3} b[/TEX]

Bei c) sollte die Arbeit 0 sein, da es ein geschlossener Weg ist (siehe Skizze)