Hilfe bei Hausaufgabe, Klasse 9

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Hallo, ich versuche seit bestimmt einer Stunde diese Aufgabe zu lösen und hatte auch schon ein paar Ansätze, komme aber auf kein Ergebnis. Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte
Die Aufgabe lautet:

"Ein Kreiszylinder aus Holz hat den Grundradius r und die Höhe h. Aus diesem Stück Holz wird ein Kreiskegel mit demselben Grundkreisradius r und der Höhe 1/2 h herausgebohrt.
Dieses Gefäß wird innen und außen lackiert. Dabei fällt auf, dass man für den Außenanstrich - einschließlich des Gefäßbodens - viermal so viel Lack braucht wie für den Innenanstrich. Bestimme daraus h als Vielfaches von r.

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Hilfeeeeeeee

Olivius

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann besteht die Oberfläche des Restkörpers aus der Mantelfläche des ausgebohrten Kegels (innen) und der Mantelfläche des Zylinders plus einer Grundfläche.

Mantelfläche des ausgebohrten Zylinders (außen): [TEX]M = 2*r*\pi*h[/TEX]

Grundfläche des ausgebohrten Zylinders: [TEX]G = r^2*\pi[/TEX]

Mantelfläche des ausgebohrten Zylinders (innen) = Mantelfläche des Kegels [TEX]M = \pi*r*s[/TEX]

s ist die Länge der Seitenlinie des Kegels, gemessen von seiner Spitze bis zum Grundkreis.

s kann über den Lehrsatz des Pythagoras bestimmt werden:

[TEX]s = \sqrt{{\frac{h^2}{4}}+r^2}}[/TEX]

Nun soll gelten:

[TEX]r^2*\pi+2*r*\pi*h = 4*\pi*r*\sqrt{{\frac{h^2}{4}}+r^2}}[/TEX]

Vereinfacht zu:

[TEX] r + 2h = 4*\sqrt{{\frac{h^2}{4}}+r^2}}[/TEX]

Umgeformt zu:

[TEX]r^2 +4r*h + 4*h^2 = 4*h^2 +16*r^2[/TEX]

Der Rest sollte einfach sein: Nach h auflösen, fertig!

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