Potenzreihe

    Hi, hab mal eine Frage zu folgender Aufgabe: Für welche Werte von x konvergiert die folgende Reihe?


    [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(2x-1)^{4k+1}}{4^{k+1}} [/TEX]

    also erst einmal hab ich ja nicht diese Standardpotenzreihenform im Sinne von [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty a_k * (x-x_0)^{k} [/TEX] sondern als Potenz 4k+1 , es gibt ja ein paar Tricks mit Substitution und dann die vereinfachte Reihe lösen könnte ich das hier machen ?

    weil dann hätte ich ja sowas wie: [TEX] \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{4^{k+1}}*y^{k+\frac{1}{4} [/TEX] für [TEX] y = (2x-1)^{4} [/TEX]

    jetzt hätte ich zumindest nur noch ein k+1/4 , aber wie löse ich diese Potenzreihe jetzt, weil ich brauche ja zum erneuten substituieren ein z mit [TEX] z^{k}=y^{k+\frac{1}{4} [/TEX] und das scheint nicht ohne weiteres möglich zu sein ?

    Mfg

    3 Mal editiert, zuletzt von kreisförmig (22. April 2017 um 17:47)

    Das geht hier mit einem sehr einfachen Trick: [TEX]\frac{a_{k+1}}{a_k} < 1[/TEX]
    [TEX]a_{k+1} = \frac{(2x-1)^{4(k+1)+1}}{4^{(k+1)+1}}[/TEX]

    [TEX]a_k = \frac{(2x-1)^{4k+1}}{4^{k+1}}[/TEX]

    [TEX]\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(2x-1)^{4k+5}}{4^{k+2}} \cdot \frac{4^{k+1}}{(2x-1)^{4k+1}} = \frac{(2x-1)^4}{4} [/TEX]
    -> (2x-1)^4 < 4
    -> x < [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}[/TEX] = 1,207...