Zinserhöhung in Prozentpunkten berechnen

1. offizieller Beitrag

    Hallo zusammen,

    ich habe folgende Aufgabe und bin leider nicht sicher, wie sie zu lösen ist:

    Jemand zahlt 1.400 Euro ein. Der Zinsatz beträgt 4,2%. Nach zwei Jahren zahlt er weitere 1.800 Euro ein. Nach weiteren fünf Jahren wird der Zinssatz erhöht. Ein Jahr nach der Zinserhöhung zahlt er weitere 1.300 Euro ein. Nach insgesamt neun Jahren beträgt sein Guthaben 5.881,14 Euro. Um wie viel Prozentpunkte wurde der Zinssatz erhöht?

    Meine Rechnung:

    (1400*1,0427+1800*1,0425+1300)*x²=5881,14
    weil er sieben Jahre lang 4,2% Zinsen auf die 1400 Euro erhält und fünf Jahre lang 4,2% Zinsen auf die 1800 Euro; die 1300 Euro werden zwei Jahre lang mit einem Zinssatz x verzinst, ebenso beide vorher eingezahlte Beträge, daher habe ich x² ausgeklammert, da es für alle drei Beträge gilt

    Nun habe ich nach x aufgelöst und erhalte x=1,0456967054528732875954508215318
    Der neue Zinssatz wäre demnach 4,5%, Erhöhung in Prozentpunkten also 0,3. Laut Lösung sollte aber 5,2%, also eine Erhöhung um einen Prozentpunkt herauskommen...

    Vielen lieben Dank vorab für eure Hilfe!

    Dein Lösungsweg ist nicht richtig.
    Um die Aufgabe übersichtlich zu gestalten, solltest Du Dir eine Tabelle erstellen, in die Du das Jahr, das Kapital, den Zinssatz, die Zinsen und das Guthaben einträgst und die letzten beiden Spalten für jedes Jahr berechnest. Dann wirst Du auch erkennen, dass das zu verzinsende Kapital ab dem 3. Jahr 3200€ und im 9. Jahr 4500€ beträgt.

    • Offizieller Beitrag

    Wenn ich die "Verschachtelung" der Zeiten richtig verstanden habe, kannst du die Lösung mit folgendem Ansatz finden:

    1) Kapital 1400,00 € - Zinssatz 4,2 % - Zeit 2 Jahre erbringt ein Endkapital von 1520,07 €

    2) Dieses Kapital wird um 1800,00 € aufgestockt auf 3320,07 € und mit 4,2 % 5 Jahre verzinst:

    3) [TEX]K_5 = 3320,07*(1,042)^5 = 4078,36[/TEX]

    4) Diese 4078,36 € werden ein Jahr lang mit einem neuen Zinssatz x verzinst, dann um 1300,00 € aufgestockt und erbringen nach weiteren 8 Jahren einen Endbetrag von 5881,14 €.

    5) [TEX]5881,14 = (4078,36*x +1300)*x^8 [/TEX]

    Die Gleichung 4078,36*x^9 +1300*x^8 - 5881,14 = 0 muss mit einem Annäherungsverfahren gelöst werden und ergibt als Lösung x =1,01025.

    Damit ergibt sich ein Prozentsatz von p = 1,025 %, um den der ursprüngliche Zinssatz erhöht worden ist.

    Die ursprüngliche Gleichung des Fragestellers war vom Grundgedanken schon gut, die letzten 1300 kamen aber erst nach dem 8. Jahr dazu, d.h.
    (((1400 * 1,042^2 + 1800) * 1,042^5) * x + 1300) * x = 5881,14
    Das ergibt eine quadratische Gleichung: x^2 + 0,3188 x = 1,442
    Von der nur die "+"-Lösung (1,052) sinnvoll ist.