ln - Funktion - Nachschreibetermin NRW 2012

    Guten Abend liebe Community,

    ich habe zu der folgenden Aufgabe aus dem Nachschreibetermin des Mathe-Abiturs 2012 NRW gewisse Fragen bzw- Lösungsschwierigkeiten. Die Aufgabe bezieht sich auf die ln-Funktion.

    [Blockierte Grafik: http://www.bilder-upload.eu/thumb/60cca4-1485460523.jpg]

    Ich weiß allgemein nicht, was von mir gefordert wird und inwiefern ich diese Aufgaben lösen kann. Unsere Lehrerin hat uns zuvor keine vergleichbaren Aufgaben gestellt.

    Ich wäre allgemein über Lösungsansätze erfreut und würde diese als Basis einer eigenständigen Lösung nutzen.

    Vielen Dank!

    (1) Zuerst die Tangenten-Gleichung bestimmen, d.h. Steigung m und y-Abschnitt b in der allgemeinen Geradengleichung y=m*x+b :
    Berührpunkt ( x | y ) ist ja ( k | k*ln(k)-k ) , die Steigung ist f'(k)=ln(k) und mit diesen drei Angaben kann man b (= -k) berechnen.
    Bk = y-Achsenschnittpunkt -> x=0 einsetzen -> yS berechnen
    Ak = x-Achsenschnittpunkt -> y=0 einsetzen -> xS berechnen
    Da die Strecken 0Ak und 0Bk senkrecht zueinander stehen, ist die Fläche F = xS * yS / 2 . Wenn du das ein bisschen umformst, kommt der vorgegebene Term für F(k) raus.

    (2) F(k) mit der Quotientenregel ableiten

    (3) minimal kann's nur sein, wenn F'(k)=0 ist. 2 Möglichkeiten:
    1. k = 0
    2. 2*ln(k)-1 = 0
    Da vorgegeben ist, dass k>1 sein soll, kann es höchstens Nr. 2 sein. Anschließend prüfen, ob es wirklich ein Minimum ist.

    (3) Lösung übersehen: minimal kann's auch sein, wenn die Fläche F(k) selber =0 ist (k=e).
    Damit so was nicht passiert, sollte man sich die Funktion immer erstmal zeichnen (GeoGebra, Grafik-TR, per Hand, ...)
    An dieser Zeichnung sieht man dann auch, dass die vorher genannte Möglichkeit Nr. 2 ein lokales Maximum ist.

    Korrigiere: Die vorher berechnete zweite Möglichkeit ist wirklich ein Minimum.
    [TEX]F(k) = \frac{k^2}{2*ln(k)}[/TEX] , also muss für F(k)=0 gelten: k=0 , aber k soll ja >1 sein.
    Also ist das Obige auch die einzige Lösung.