Hoch- und Tiefpunkte bestimmmen

Bei der Aufgabe 1) bildest du die erste Ableitung, setzt sie gleich Null und bestimmst die Lösungen.
Die errechneten x-Werte geben dir die Stellen der Ausgangsfunktion an, an denen waagerechte Tangenten vorhanden sind, also Extremwerte. Mit Hilfe der zweiten Ableitung erkennst du, um welche Art Extremwert es sich handelt. Ist die zweite Ableitung für den eingesetzten x-Wert positiv, liegt ein lokales Minimum, ein Tiefpunkt, vor. Ist die zweite Ableitung für den eingesetzten x-Wert negativ, liegt ein lokales Maximum, ein Hochpunkt vor. Die Stellen der Extremwerte hast du richtig berechnet, x1 = -4 und x2 =3. Allerdings liegt der Hochpunkt bei HP [-4/208]. Die Koordinaten des Tiefpunktes sind korrekt.
f(-4) = 2*(-64) +48 +288 = - 208!

Bei der Aufgabe 2) gehst du analog vor. Du bildest die erste Ableitung und setzt sie gleich Null. Diese quaratische Gleichung hat jedoch keine reellen Lösungen, folglich gibt es bei dieser Funktion keine lokalen Extremwerte (Minima oder Maxima).

Die höchste oder tiefste Stelle im vorgegebenen Bereich bestimmst du, indem du 3 und -3 in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktion besteht aus zwei Ästen, der linke fällt streng monoton, der rechte steigt streng monoton.

Bei der Aufgabe 4) bildest du die erste und die zweite Ableitung:

[TEX]f'(x) =x^4-2x^2+1[/TEX]

Umgeformt zu:[TEX]f'(x) = (x^2-1)^2[/TEX]

Erste Ableitung Null setzen:

(x² -1)² = 0

(x² -1)*(x² -1) = 0

x1 = 1 x2 = -1

An diesen beiden Stellen hat die Funktion waagerechte Tangenten.

Zweite Ableitung: f''(x) = 4x³ - 4x

4x³ - 4x = 0

4x*(x² -1) = 0

x1 = 1

x2 = -1

x3 = 0

An den Stellen x1 und x2 hat die Funktion waagerechte Tangenten und gleichzeitig Wendepunkte. Solche Stellen nennt man Sattelpunkte.

Bei x3 = 0 liegt ein normaler Wendepunkt vor.

Die Sattelpunkte liegen bei S1 (-1/-0,5333) und S2 (1/0,5333)