Hey ich hab hier eine Aufgabe:
voraussetzung: K=Körper, V=K-Vektorraum. F∈EndK(v), n∈ ℕ mit F^n=0 und F^(n-1) ≠0. F^0 :=id_v
Behauptung: es gibt ein v aus v, so dass folgendes Symstem linear unabhängig ist:
(v, F(v), F^2 (v),...,F^(n-1) (v))=(F^K (v);0≤K≤n-1)
Meine idee: wähle ein v ∈ V mit F^(n-1) (v)≠0. Seien dann λ_0 ,..., λ_n-1 ∈ K mit λ_0 v+ λ_1 F(v)+...+ λ_n-1 F^(n-1) (v)=0.
daraus λ_0 ,..., λ_n-1 =0 folgern.
F^n-1 (λ_0 v+λ_1 F(v)+...+λ_n-1 F^n-1 (v))=F(0)=0
⇒F^n-1 (λ_0 v+F^n-1 (λ_1 F(v))+...+F^n-1 (λ_n-1 F^n-1(v))=0
⇒λ_0 F^n-1 (v)+λ_1 F^n-1 (F(v))+...+λ_n-1 F^n-1 ( F^n-1 (v))=0
⇒λ_0 F^n-1 (v)+λ_1 F^n(v)+...+λ_n-1 F^2n-2 (v)=0
da F^n die 0-abbildung ist, ist das auch für alle größeren Exponenten so also;
⇒λ_0 F^n-1 (v)+0+...+0=0
⇒_λ0 F^n-1 (v)=0 und weil F^n-1 (v)≠0, gilt λ_0 =0.
Also wird aus dem Ansatz λ_0 v+λ_1 F(v)+...+λ_n-1 F^n-1(v)=0 damit λ_1 F(v)+...+λ_n-1 F^n-1(v)=0
F^n-2 (λ_1 F(v)+...+λ_n-1 F^n-1 (v))=F(0)=0 λ_1 =0
⇒λ_1F^n-2 (F(v))+...+λ_n-1 F^n-2 (Fn-1(v))
⇒F^n-2 F(v)λ_1+...+λ_n-1 F^2n-3(v)=0
⇒F^n-2 F(v)=F^n-1 (v) und alle anderen Exponenten an dem F sind größer als n-2. Also sind die F^xxx (x) alle=0 und es bleibt wieder nurF^n-1 (v)λ_1=0 also auch λ_1 =0 , da F^n-1 (v)≠0
wie muss ich jetzt weiter machen?