Stetigkeit

    Für n Element aus den natürlichen Zahlen N, sei [TEX]f_n[/TEX] :R -> R definiert als [TEX]f_n(x)=\sin^{2n}(x)[/TEX]

    1) Begründen sie warum die Funktion [TEX]f_n[/TEX] für jedes Element n aus N auf R stetig ist

    2) Begründen sie warum für jedes Element x aus R der Grenzwert [TEX]\lim_{n \to \infty} f_n[/TEX] existiert

    3) Untersuchen sie, in welchen Elementen x aus R die Funktion f: R -> R stetig ist


    wie würdet ihr bei der aufgabe hier dran gehen?

    Einmal editiert, zuletzt von kreisförmig (29. November 2016 um 23:55)

    1) Benutze die Definition der Stetigkeit
    2) Für [TEX]x = k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}[/TEX] (k aus Z) ist sin²(x) = 1. Damit ist sin2n(x) = (sin²(x))n = 1 für alle n.
    Für [TEX]x \neq k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}[/TEX] (k aus Z) ist 0 <= sin²(x) < 1. Damit konvergiert sin2n(x) mit steigendem n gegen 0.
    3) Wie ist f definiert?

    ah ok ich habs jetzt bei 1 ist es ja einfach eine Potenz der stetigen Funktion sinus, die wiederum stetig ist. 2) hab ich auch so und aus 2) folgt dann bei 3) für die Grenzfunktion f(x) = 1 für x=kpi+pi/2 und sonst 0
    das heißt die Funktion ist dann in allen Punkten x=kpi+pi/2 (wobei k eine ganze zahl ist), unstetig und ansonsten stetig. Das heißt die Konvergenz der Funktionenfolge fn ist auch nicht gleichmäßig richtig?