Mengenlehre

1. offizieller Beitrag

    Hallo zusammen,

    ich bräuchte Hilfe bei drei Aufgaben, bei denen ich überhaupt nicht weiterkomme.


    1) Summenzeichen ∑ Obergrenze 1 untergrenze m=-3, rechts (-m+1)hoch2, die Aufgabe ist es, den zahlenmäßigen Wert zu berechnen und die Summe explizit mit allen Summanden aufzuschreiben. Hier komme ich auf zwei verschiedene Ergebnisse und bin deshalb total verwirrt.
    Zum einen -3,-2,-1,0,1 (da Grenze -3 bis 1) und für m eingesetzt ergibt das 16+9+4+1+4=34, laut online Rechner (wollte überprüfen, ob ich richtig gerechnet habe) ergibt dies aber 16,32,48,64,80 bei Grenze -3 bis 1, welches der beiden Ergebnisse ist nun richtig?

    2)Hier geht es um vollständige Induktion, man soll diese Gleichung mit Hilfe des Summenzeichens formulieren.
    1+2+...+n=n(n+1)/2 (das soll ein Bruch darstellen, die n(n+1) ist im Zähler, die 2 im Nenner)
    leider weiß ich damit überhaupt nichts anzufangen, wollte zuerst Obergrenze n, Untergrenze 1 setzen und dann ∑(n+1) schreiben, weiß aber nicht wo ich mit der geteilt durch 2 und mal n hin soll?

    3) Hier muss man die Formel ergänzen
    (a-2)hoch6 =a hoch 6...., soll ich hier die Zahlen von ahoch6+... bis ahoch-2 aufschreiben?

    Vielen Dank schon mal im Vorraus!
    Julian

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe 1) scheinst du dich verrechnet zu haben. Die einzelnen Summanden lauten: 16 + 9 + 4 + 1 + 0! Folglich beträgt die Gesamtsumme 30. Dein Online-Rechner liefert ein falsches Ergebnis. Kontrolle durch "WolframAlpha", dort wird das Ergebnis bestätigt.

    Bei der Aufgabe 2 sieht das Ergebnis so aus:

    [TEX]\displaystyle\sum\limits_i^n(i)[/TEX]

    Das untere Limit ist i = 1: Mit der Formel wird die Summe der Zahlen von 1 bis n ermittelt.

    3) [TEX](a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 +20a^3b^3 +15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 [/TEX]

    Wenn du hier für b = -2 einsetzt und ausrechnest, bekommst du das gesuchte Ergebnis!

    Zu 2)
    Die vollständige Induktion ist ja ein Beweisverfahren. Wenn ich dich richtig verstehe, soll das nicht nur in der Summenschreibweise aufgeschrieben werden, sondern auch der Beweis geführt werden.
    A) Induktionsanfang:
    Für n=1 hat die Summe nur den einen Summanden 1, der dann auch das Ergebnis ist. Die Formel liefert 1*(1+1)/2 = 1, also stimmt die Formel für n=1.
    B) Induktionsschritt:
    Annahme: Die Formel gilt für n. Zu zeigen: Dann gilt sie auch für n+1.
    [TEX]\sum_{i=1}^{n+1} i = \sum_{i=1}^{n} i + (n+1)[/TEX]
    = n*(n+1)/2 + (n+1) , nach Induktions-Voraussetzung gilt die Formel für n
    = (n+1) * (n/2 + 1) , nach Ausklammern von (n+1)
    = (n+1) * (n+2)/2 , weil 1 = 2/2
    = (n+1)*(n+1+1)/2 , also gilt die Formel dann auch für n+1

    3)
    Das kann man, wenn man will, auch wieder mit Summenzeichen schreiben:
    [TEX](a - 2)^6 = \sum_{i=0}^6 {n \choose k} a^i * (-2)^{6-i}[/TEX]
    wobei [TEX]{n \choose k}[/TEX] der Binomialkoeffizient ist. Das sind genau die Zahlen, die Olivius aufgeschrieben hat.