Aufstellen von Funktionstermen und Lösen von linearen Gleichungssystemen

1. offizieller Beitrag

    Hallo,

    ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Hausaufgabe die das Aufstellen von Funktionstermen und Lösen von linearen Gleichungssystemen betrifft.

    Die Aufgaben sind:

    1. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades dessen Graph einen Tiefpunkt im Ursprung, einen Nullstelle bei x1=6 und dessen Graph außerdem den Punkt P(3/2,25) enthält.
    Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften des Graphen! (+Zeichnung)

    2. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 2. Grades dessen Graph die Punkte A(-2/2), B (1/-2) und C(3/3) enthält.

    Kann mir bitte jemand helfen??

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe 1) gehst du von der allgemeinen Funktionsgleichung dritten Grades aus:

    f(x) = ax³ + bx² +cx +d

    Hier sind die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.

    Der Graph der Funktion verläuft durch den Ursprung, folglich ist P (0/0) ein Punkt der die Funktionsgleichung erfüllt.

    I. f(0) = a*0 +b*0 +c*0 +d = 0

    Daraus folgt: d = 0

    II. Eine Nullstelle liegt bei P1 (6/0) Dieser Punkt erfüllt ebenfalls die Funktionsgleichung:

    f(6) = 0

    0 = 216a + 36b +6c

    III. Der Punkt P2 (3/2,25) erfüllt ebenfalls die Funktionsgleichung:

    f(3) = 2,25

    2,25 = 27a + 9b +3c

    IV. Wenn die Funktion im Ursprung einen Tiefpunkt hat, dann ist die erste Ableitung an dieser Stelle gleich Null.

    f'(x) = 3ax² + 2bx + c

    f'(0) = 0

    Daraus folgt: c = 0

    Nun ist das lineare Gleichungssystem zu lösen:

    0 = 216a + 36b

    2,25 = 27a + 9b

    Damit ergibt sich für a = -12 und für b = 72

    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: f(x) = -12x³ + 72x²

    Die wesentlichen Eigenschaften sind:

    1) Nullstellen bei x1 = 6 und x2 = 0

    2) Tiefpunkt (lokales Minimum) x1 = 0 im Ursprung

    3) Lokales Maximum bei x3 = 4 ; der Extrempunkt PM (4/384)

    4) Der einzige Wendepunkt liegt bei x = 2; WP (2/192)


    Die zweite Aufgabe kannst du analog lösen. Du setzt die gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung zweiten Grades ein:

    f(x) = ax² +bx +c

    I. 2 = 4a -2b +c

    II. -2 = a + b +c

    III. 3 = 9a +3b +c

    Dieses Gleichungssystem ist zu lösen.

    Es ergibt sich: a = 0,7666666...

    b = -0,566666...

    c = - 2,2

    Daraus ergibt sichfolgende Funktionsgleichung: f(x) = 0,7666x² - 0,5666x - 2,2


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