Öberflächeninhalt einer Boje

1. offizieller Beitrag

    Hallo, ist mein erstes Mal hier im Forum da ich echt nicht mehr weiter weiß mit meiner Mathe Hausaufgabe.
    Sie ist auf Seite 59, Aufgabe 12 im Buch "Elemente der Mathematik 10 Sachsen" und es geht um eine Boje, von der man den Flächeninhalt ausrechnen muss.

    Aufgabenstellung:
    "Eine Boje ragt mit einem Drittel ihrer Gesamthöhe aus dem Wasser.
    Ihre Maße sind α= 78°; h1= 38cm; h= 69cm
    Berechne den Oberflächeninhalt der Fläche, die sich im Wasser befindet."

    Hier ein Bild der Skizze daneben.
    Es muss also die Fläche berechnet werden, die innerhalb des blauen Rahmens ist.

    Bitte sehr um Hilfe, da unser Mathelehrer gerne auch mal vor der eigentlichen Stunde einsammelt und ich es somit nicht riskieren möchte, es vor der Stunde noch abzuschreiben.

    Danke im Vorraus! :)

    • Offizieller Beitrag

    Die Boje ist als math. Figur ein Doppelkegel. Hier berechnest du zuerst die Mantelfläche eines Kegelteils

    [TEX]M = \pi*r*s[/TEX]

    r = Radius
    s = Seitenhöhe oder Mantellinie
    pi = Kreiszahl = 3,14

    Mit Hilfe der Tangensfunktion kannst du den Radius des Doppelkegels bestimmen.

    tan (39°) = r/h

    r = h*tan(39°)

    r = 38*0,809784033 = 30,77

    r = 30,8 cm

    Die Seitenlinie berechnest du über den Lehrsatz des Pythagoras.

    s² = r² + h²

    s² = 30,8² + 38²

    s² = 948,64 + 1444 = 2392,64

    [TEX]s = \sqrt{2392,64} = 48,91[/TEX]

    Die Mantellinie ist 48,9 cm lang.

    Jetzt kannst du die Mantelfläche des unteren Kegels bestimmen:

    M = 3,14*30,8*48,9 = 4729,168

    M = 4729,17 cm²

    Der obere Teil der Boje, der aus dem Wasser ragt, hat eine Höhe von 69cm :3 = 23 cm.

    Der Radius des Kegels an der Wasserfläche wird mit dem Strahlensatz ermittelt:

    23 : x = 38 : 30,8

    x = (23*30,8)/38

    x = 18,6 cm

    Die Seitenlinie dieses Kegelteils beträgt:

    s1² = 18,6² + 23²

    s1² = 345,96 + 529 = 874,96

    s1 = 29,57

    Die Mantellinie des aus dem Wasser ragenden Kegelstücks ist 29,6 cm lang.

    Damit beträgt die Mantelfläche des oberhalb der Wasseroberfläche liegenden Kegels

    M1 = 3,14*18,6*29,6 = 1728,7584

    M1 = 1728,76 cm²

    Die gesamte Boje hat eine Mantelfläche von 2*4729,17 cm = 9458,34 cm²

    Davon ziehst du 1728,76 cm² ab: 9558,34 cm² - 1728,76 cm² = 7729,58 cm²

    • Offizieller Beitrag

    Meine obige Lösung ist leider FALSCH, da ich zu spät bemerkt habe, dass die beiden Kegel nicht identisch sind!!!
    Der obere Kegel hat eine andere Höhe, nämlich 31 cm.
    Das ist bei der Berechnung des oberen Radius und beim Strahlensatz zu berücksichtigen!
    Ferner sind die beiden Mantelflächen nicht gleich groß.

    Index 1 = unterer Kegel, Index 2 = oberer Kegel
    Lösungen (Erklärungen siehe Olivius):
    h2 = 31 cm
    r = h2 * tan(39) = 25,1 cm (für beide Kegel)
    s2 = h2 / cos(39) = 39,9 cm
    s1 = [TEX]\sqrt{r^2 + h_1^2}[/TEX] = 45,5 cm
    M1 = [TEX]\pi r s_1[/TEX] = 3592 cm²
    M2 = [TEX]\pi r s_2[/TEX] = 3146 cm²
    M0 = [TEX]\pi \left( \frac{23}{31} r \right) \left( \frac{23}{31} s_2 \right)[/TEX] = 1732 cm² guckt aus dem Wasser und muss abgezogen werden.
    -> 5006 cm²