Wie errechne ich den Richtungsvektor einer zur Ebene E parallelen Gerade?!

Hallo!

Ich stehe momentan richtig auf dem Schlauch. Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe bezüglich Abstandsberechnung Punkt-Ebene.

In der Aufgabe ist die Ebene E:2x₁-2x₂+x₃ und der Punkt P (5|-4|3) gegeben.
Den Abstand der beiden, wie in Teilaufgabe a) verlangt, habe ich berechnet, der ist 7.

Jetzt soll ich drei weitere Punkte angeben, die denselben Abstand zur Ebene haben. Ich habe mir überlegt, einfach eine zur Ebene E parallele Gerade g aufzustellen, die den Punkt P als Stützpunkt besitzt. Die Bedingung für die parallele Lage ist ja, dass der Richungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene verläuft.
(Achja, ist dann ein Problem, dass eine Ebene mit 3 Spurpunkten endlich ist und man daher nicht beliebig Punkte auf g nehmen könnte, weil diese zu weit weg wären? )

So, hier komme ich nicht weiter...

Wenn ich das Skalaprodukt anwende, komme ich nicht allzu weit, wenn ich drei Variablen habe, oder?

Ich habe aufgeschrieben:
u₁ 2
u₂*-2 = 0
u₃ 1

Ich bitte um Hilfe

Danke schonmal!