Gleichung lösen

1. offizieller Beitrag

    Hey Leute,

    ich stehe gerade irgendwie richtig auf dem Schlauch und komme bei dem Lösen folgender Gleichung einfach nicht weiter.

    (-0,05*(x^3-0,4x^2+0,008))/x³=0

    Durch die lösung des GTRs weiß ich, dass -0,123607, 0,2 und 0,323607 rauskommen muss. Aber irgendwie führen gerade alle meine Überlegungen zu keiner Lösung :/ Wäre super, wenn jemand von euch mir die Lösungsschritte aufzeigen könnte, aber auch für Ansätze zum weiteren Auflösen wäre ich sehr dankbar.

    Schon mal im Vorraus Danke
    Tierfreund123

    Zitat


    (-0,05*(x^3-0,4x^2+0,008))/x^3=0

    [TEX] \frac{-0,05*(x^3-0,4*x^2+0,008)}{x^3}[/TEX]
    So muss es natürlich sein

    Du multiplizierst die Gleichung mit -x³/0,05 und hast damit die Normalform einer Gleichung 3. Grades.
    Als Lösungsverfahren für diese Gleichung ginge die Cardanische Formel, die aber sehr aufwendig ist.
    Man müsste ein Näherungsverfahren anwenden oder eben den TR.
    Deine Ergebnisse sind richtig.

    • Offizieller Beitrag

    Es geht auch so:

    Da der Nenner nicht Null werden kann, hast du die Gleichung

    x³ - 0,4x² + 0,008 = 0

    Hier kann man eine Lösung erraten: x1 = 0,2

    0,2³ - 0,4*0,2² + 0,008 = 0,008 - 0,016 + 0,008 = 0

    Mit Hilfe der Polynomdivision kannst du die Gleichung dritten Grades reduzieren:

    [x³ - 0,4x² + 0,008]:[x - 0,2] = x² - 0,2x - 0,04

    Die Lösung dieser quadratischen Gleichung mit Hilfe der pq-Formel ergibt:

    [TEX]x_1 = 0,1 + \sqrt{0,01 +0,04} = 0,323606797[/TEX]

    [TEX]x_2 = 0,1-\sqrt{0,05} = -0,123606797[/TEX]

    Zitat von fritz

    für diese Gleichung ginge die Cardanische Formel oder eben den TR.

    Da wir die Formel noch nicht hatten und nicht den TR benutzen soollen, sondern algebraisch rechnen sollen, ist das zumindest jetzt gerade für mich glaube nicht der richtige Lösungsweg. Aber trotzdem danke ;)

    Zitat von Olivius

    Da der Nenner nicht Null werden kann, hast du die Gleichung

    x³ - 0,4x² + 0,008 = 0

    Hier kann man eine Lösung erraten: x1 = 0,2

    0,2³ - 0,4*0,2² + 0,008 = 0,008 - 0,016 + 0,008 = 0

    Wieso hab ich dann die Formel, wenn der Nenner nicht null werden kann? Also wieso fällt das vor der Klammer weg?

    P.S. Nicht wundern, ich bin Tierfreund 123, aber mein Profil ist noch nicht freigeschaltet, weshalb momentan als Gast der Name nicht mehr verwendet werden kann.

    • Offizieller Beitrag

    Die Cardanische Formel ist dazu da, Gleichungen dritten Grade zu berechnen. Es gibt jedoch einige Gleichungen dritten Grades, die sich einfacher lösen lassen wie z. B. deine.

    Der Nenner kann grundsätzlich nicht Null werden, folglich wird der Zähler Null gesetzt. Wenn du dann beide Seiten durch 0,05 dividierst, erhältst du die obige Gleichung

    Okay... so langsam fühle ich mich doof :O Ich bin jetzt mit dem Auflösen soweit gekommen, dass [TEX]x^2(x-0,4)=-0,008[/TEX] da steht. Doch wie geht es jetzt weiter. Der TR sagt, dass die Gleichung immer noch stimmt, also am Ende die gewünschten 3 Ergebnisse rauskommen.

    Ich schätze mal so spät kommt keine Antwort mehr... Aber ein Versuch ist es ja wert, sonst halt nur die Hälfte der Hausaufgabe

    Also nochmal danke für eure Hilfe. Einen logischen Rechenweg um auf die 0,2 zu kommen habe ich jetzt nicht gefunden, aber die anderen 2 Ergebnisse stehen da. Das ist ja schon mal was :D

    Okay danke. Unsere Lehrerin meinte im Nachhinein, dass wir esdoch mit dem TR hätten machen können, weil sie merkte, dass wir es anders gar nicht hinbekommen können. Aber ich muss sagen, das auseinadersetzen mit der Aufgabe hat mir trotzdem was an Verständnis gebracht und auch sie fand meine Bemühungen sehr schön. Nochmal Danke