Von der Binomial- zur Multinomialverteilung (Polynomialverteilung)

    Heej! :)
    Ich hänge grade total fest... Wir hatten bis jetzt nur die Binomialverteilung (die ich auch nur kaum verstanden habe) und jetzt geht es um die Multinomialverteilung (Auch Polynomialverteilung genannt) und wir hatten dazu noch nichts im Unterricht gemacht. :flop:

    1. Wie leite ich die Formel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung bei einer Multinomialerteilung her?

    2. Wie vergleiche ich den ERwartungswert und die Varianz zwischen Binomial- und Multinomialverteilung?

    3. Ich soll die Wahrscheinlkchkeit berechnen, dass unter 10 Personen je 4 mit der Blutgruppe 0 bzw. A und je 1 mit der Blutgruppe AB bzw. B sind.
    Ich habe die Blutgruppen in der deutschen Bevölkerung recherschiert:
    -A 43%
    -0 41%
    -B 11%
    -AB 5%

    Ich freue mich über jede Hilfe schon mal! Und ein risiges Dankeschön wenn ihr mir helfen könnt!! :cheer:
    Preisful

    Hallo,:smilie195:

    tut mir leid, ich war in Urlaub. Daher kommt die Antwort etwas später.

    Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Personen genau 4 mal die Blutgruppe A anzutreffen ist

    [TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4[/TEX]

    Dies dürfte aus der Beschäftigung mit der Binomialverteilung noch klar sein.

    Die Wahrscheinlichkeit unter den übrig gebliebenen 6 Personen genau 4 mal auf Blutgruppe 0 zu stoßen ist

    [TEX]\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,41^4[/TEX]

    Bleiben noch die Blutgruppen B

    [TEX]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,11^1[/TEX]

    und AB

    [TEX]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,05^1[/TEX]


    Alles zusammen ist das

    [TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 0,41^4\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,11^1\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,05^1[/TEX]

    Etwas umsortiert wird daraus

    [TEX]\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 0,43^4\cdot0,41^4\cdot 0,11^1\cdot 0,05^1[/TEX]

    Schaut man sich die Definition der Binomialkoeffizienten an und schreibt sie als Brüche, kann man auch schreiben

    [TEX]\dfrac{10!}{4!\cdot 4!\cdot 1!\cdot 1!}\cdot 0,43^4\cdot0,41^4\cdot 0,11^1\cdot 0,05^1[/TEX]

    Eine Formel dieser Art findet man auch bei wikipedia unter Multinomialverteilung.

    Die Auswertung dieses Ausdrucks kann man mit google machen.
    Die Eingabe von

    0,43^4*0,41^4*0,11*0,05*10!/(4!*4!)

    bringt das Ergebnis

    0.03347437585

    also 3,35%

    Ich habe zur Sicherheit dieses Problem auch mit einem Java-Programm simuliert. Es kommt das gleiche Ergebnis raus.
    Wenn jemand Interesse daran hat, kann ich ja den Programm-Code auch hier reinstellen.

    Viele Grüße
    Lord Nobs

    1 Nm = 1 Ws = 1 J

    6 Mal editiert, zuletzt von Lord Nobs (14. Mai 2015 um 17:27)