Vektorrechnung - Berechnen von Winkeln

Hallo,

das Haus mit dem Dach sieht schon sehr sonderbar aus:

Das Dach hat 4 Flächen: 2 kleine dreieckige und 2 größere viereckige.

Eine der dreieckigen Dachflächen hat die Eckpunkte A, D und E. Mit diesen 3 Punkten ist eine Ebene eindeutig bestimmt. Welche Form soll die Ebenengleichung denn haben? Es gibt da mehrere Möglichkeiten.

Ohne Ebenengleichung kann man den Neigungswinkel auch berechnen.
Der Dachfirst liegt 6m über der Dachgrundfläche und 4m von der kurzen Kante nach innen versetzt.

Der Tangens des Neigungswinkels ist dann

[TEX]tan(\alpha)=\dfrac{6m}{4m}[/TEX]
[TEX]\alpha=56,3°[/TEX]

Viele Grüße
Lord Nobs

Hallo,:smilie95:

Die Ebene mit den Punkten A,B und D ist die Grundfläche des Dachs. Sie liegt waagerecht.

z=4

Ich nehme mal das Dreieck mit den Punkten A, D und E.
Die Parameterform der Ebenengleichung sieht so aus

[TEX]ax+by+cz=d[/TEX]

Da sind die 4 Parameter a bis d zu bestimmen. Durch Einsetzen der Koordinaten unserer Punkt können wir 3 Gleichungen aufstellen.
Los geht's

[TEX]a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 4=d[/TEX]

[TEX]a\cdot 2+b\cdot 0+c\cdot 4=d[/TEX]

[TEX]a\cdot 1+b\cdot 4+c\cdot 10=d[/TEX]

Das ist eigentlich eine zu wenig. Aber da es zu einer Ebene unendlich viele Ebenengleichungen gibt, haben wir da eine gewisse Wahlfreiheit.

[TEX]c\cdot 4=d[/TEX]

[TEX]a\cdot 2+c\cdot 4=d[/TEX]

[TEX]a\cdot 1+b\cdot 4+c\cdot 10=d[/TEX]

Ich beschließe einfach

[TEX]c=1[/TEX]

daraus folgt

[TEX]d=4[/TEX]

Man sieht sofort

[TEX]a=0[/TEX]

Bleibt noch

[TEX]b=-1,5[/TEX]

Die fertige Ebenengleichung ist dann

[TEX]-1,5y+z=4[/TEX]

Die Parameter a bis c als Vektor geschrieben sind der Normalvektor der Ebene.

[TEX]\vec N=
\begin{pmatrix}
0\\
-1,5\\
1
\end{pmatrix}[/TEX]

Senkrecht auf der x-y Ebene oder auf der Ebene durch A, B und D steht der Vektor

[TEX]\vec Z_E=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}[/TEX]

Der Neigungswinkel der Dachfläche ist auch der Winkel zwischen [TEX]\vec N[/TEX] und [TEX]\vec Z_E[/TEX].

Bei "Winkel zwischen Vektoren" klingelt immer der Alarm "Skalarprodukt".

[TEX]\vec N \cdot \vec Z_E=|\vec N| \cdot |\vec Z_E|\cdot cos(\alpha)[/TEX]

[TEX]\begin{pmatrix}
0\\
-1,5\\
1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}=\sqrt{(-1,5)^2+1^2}\cdot 1\cdot cos(\alpha)[/TEX]

[TEX]1=\sqrt{3,25}\cdot cos(\alpha)[/TEX]

[TEX]cos(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{3,25}}=0,5547[/TEX]

[TEX]\alpha=56,3°[/TEX]

Das ist keine Überraschung.

Viele Grüße
Lord Nobs

Hallo,

oh, du hast geschrieben Ebenengleichungen in vektorieller Form. Das habe ich überlesen.

Auf ein Neues.

Für eine Ebenengleichung in vektorieller Form brauchen wir einen Aufpunkt und 2 Vektoren, die in der Ebene liegen.

Als Aufpunkt nehme ich D. Die beiden Vektoren gehen von D nach A und von D nach E

[TEX]E=\vec A+u\cdot (\vec A- \vec D)+v\cdot (\vec E -\vec D) [/TEX]

[TEX]E=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+u\cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+v\cdot \begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}[/TEX]

Jetzt geht es wieder um Winkel und damit um Richtungen. Die Ausrichtung einer Ebene im Raum beschreibt ihr Normalvektor. Er steht senkrecht auf der Ebene und damit auch senkrecht auf den beiden Vektoren in der Ebenengeleichung.

Beim Stichwort "senkrecht auf 2 Vektoren" klingelt bei mir der Wecker "Kreuzprodukt oder Vektorprodukt".

[TEX]\vec N=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0\\-12\\8\end{pmatrix}[/TEX]

Der Vektor [TEX]\vec N[/TEX] steht senkrecht auf den beiden Vektoren, die vektoriell multipliziert werden, und ist ein Normalvektor der Ebene E.

Er ist vom Betrag 8 mal so groß, wie der Normalvektor, den ich weiter oben ausgerechnet habe, hat aber die gleiche Richtung.
Die weiteren Schritte, sind also die gleichen wie oben.

Viele Grüße
Lord Nobs