Funktion 3. Grades bestimmen mit (3?) gegebenen Bedingungen

1. offizieller Beitrag

    Hallo an alle, die das lesen :)

    Ich bin neu hier und schier am Verzweifeln bei meiner Hausaufgabe und erhoffe mir daher hier Hilfe :D

    Wie im Titel bereits erwähnt, wird in der Aufgabe eine Funktion 3. Grades gesucht. Gegeben sind folgende Bedingungen:
    Die Funktion...
    - berührt die x-Achse im Ursprung
    - hat an der Nullstelle x=-3 die Steigung 6

    Daraus kann ich schließen:
    (1) f(0) = 0
    (2) f(-3) = 0 und
    (3) f'(-3) = 6

    Mit f'(x) = 3ax2+2bx+c komme ich auf folgendes LGS:
    -3a - 3b - 3c + d = 0
    -3a - 3b - 3c + d = 0
    -9a - 6b + 2c +d = 6


    Ich komme nur nicht auf die 4. Bedingung, da es ja heißt, man braucht für 4 Unbekannte 4 Bedingungen :-?
    Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar!

    Liebe Grüße,
    Anne-Marie

    • Offizieller Beitrag

    Die allgemeine Gleichung dritten Grades lautet:

    f(x) = ax³ + bx² + cx +d

    und f'(x) = 3ax² + 2bx + c

    Berührt die x-Achse im Ursprung:

    1) f(0) = 0 und

    2) f'(0) = 0 !!!
     (Hier liegt eine waagerechte Tangente vor.)

    Hat an der Nullstelle x = -3 die Steigung 6

    3) f(-3) = 0

    4) f'(-3) = 6

    Damit hast du vier Bedingungen, die zur Lösung ausreichen sollten:

    I. d = 0

    II. c = 0

    III. 0 = -27a + 9b

    IV. 6 = 27a - 6b

    b = 2

    a = 2/3

    f(x) = (2/3)x³ + 2x²

    Vielen lieben Dank, Olivius!

    Abgesehen davon, dass ich bei mir einen Rechenfehler entdeckt habe, habe ich noch zwei Dinge, die für mich unklar sind:
    - Wie kann ich wissen, ob sich bei (0|0) ein Extremum befindet? Durch nachdenken, dass es 3 Nullstellen geben soll?
    - Du hast bei III. -27a + 9b - 3c + d = 0 den markierten Teil weggelassen, wobei dieser doch bei der normalen Funktion dazugehört, denke ich? Ob wegglassen oder nicht, am Ergebnis ändert es jedoch nichts.

    Dennoch danke ich Dir nochmals für Deine Hilfe! :)

    • Offizieller Beitrag

    Hallo Anne-Marie!

    Wenn du weißt, dass c und d gleich Null sind, dann kannst du natürlich den Term (3c + d) weglassen.

    Aus der Angabe, ..."berührt die x-Achse", geht hervor, dass an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vorliegt. Daraus folgt, dass f'(x) = 0 ist. (Würde der Graph die x-Achse nicht berühren, sondern schneiden, läge eine andere Steigung als m = 0 vor.)

    Deine Kurve hat nur zwei Nullstellen.