Hallo,
unser Mathelehrer hat uns folgende Hausaufgabe gegeben:
Zeige: kgV(a, b) + ab <= a^2 + b^2 für alle ganzen Zahlen a und b
Bitte um schnelle Hilfe!!!
Vielen Dank schon im Voraus
Ungleichung mit kgV
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Unregistriert -
17. April 2015 um 18:19
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Hallo,
in der Ungleichung stört irgendwie das kgV. Das ist so unhandlich. Aber man kann es abschätzen.
Es gilt:[TEX]kgV(a,b)\leq a\cdot b[/TEX]
Sind a und b teilerfremd, z.B. beides Primzahlen, gilt das Gleichheitszeichen. Gibt es einen gemeinsamen Teiler, gilt kleiner.
Das macht aus unserer Gleichung:
[TEX]ab+ab\leq a^2+b^2[/TEX]
(Ich habe hier den kgV-Term durch etwas ersetzt, dass größer oder gleich ist, die linke Seite dadurch evtl. vergrößert. Wenn danach die Ungleichung immer noch stimmt, dann gilt das auch für die ursprüngliche Ungleichung.)
Sieht doch schon viel freundlicher aus. Das Ganze erinnert jetzt irgendwie an eine der binomischen Formeln. Bauen wir etwas um.
[TEX]0\leq a^2-2ab+b^2[/TEX]
[TEX]0\leq (a-b)^2[/TEX]
Dass diese Ungleichung immer stimmt, sieht man sofort, oder?
Egal welchen Wert [TEX](a-b)[/TEX] hat, das Quadrat davon ist immer größer oder gleich Null.
Ich glaube, das war's.
Viele Grüße
Lord Nobs -
Danke
