Aufgabe zu Parabeln / Integralen

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Bei der Aufgabe 2d) bestimmst du zunächst die Nullstellen der Kurvenschar, damit du die Integrationsgrenzen kennst.

[TEX]g(x) = -ax^2 +\frac{7}{4}x = 0[/TEX]

[TEX]x_1 = 0[/TEX]

[TEX]x*(-ax + \frac{7}{4})=0[/TEX]

[TEX]x_2 = \frac{7}{4a}[/TEX]

Zwischen diesen Grenzen ist die Parabel zu integrieren, damit ein Flächeninhalt von 21/8 FE entsteht.

Die Stammfunktion lautet:

[TEX]G(x) = -\frac{a*x^3}{3}+\frac{7*x^2}{8}[/TEX]

Du integrierst diese Stammfunktion zwischen den Grenzen - 7/4a und 0

[TEX]-\frac{a}{3}*\frac{7^3}{4^3a^3}+\frac{7}{8}*\frac{7^2}{4^2a^2}= \frac{21}{8}[/TEX]

Ausrechnen!

[TEX]\frac{49}{48}-\frac{49}{72} = a^2[/TEX]

[TEX]\frac{49}{144} = a^2[/TEX]

a = 7/12

Die gesuchte Funktion lautet:

[TEX]g(x) = -\frac{7x^2}{12}+\frac{7x}{4}[/TEX]

Die Nullstellen, zwischen denen du integrieren musst, sind: Obere Grenze x = 3 untere Grenze x = 0. Der von der Parabel und der x-Achse eingeschlossene Flächeninhalt beträgt 2,625 FE.

- - - Aktualisiert - - -

Bei der Aufgabe 2e) bestimmst du zuerst die Nullstellen der Funktion:

[TEX]f(x) = -\frac{x^2}{3}+\frac{7x}{4} = 0[/TEX]

[TEX]x_1=0[/TEX]

[TEX]x_2 = \frac{21}{4}[/TEX]

Damit beträgt die Basis (Grundseite des Dreiecks) 21/4 LE.

Um die Höhe des Dreiecks zu bestimmen, berechnest du den Extremwert oder du wandelst die Funktion in die Scheitelform um.

[TEX]f(x) = -\frac{1}{3}*(x^2+\frac{21x}{4})[/TEX]

[TEX]f(x) = -\frac{1}{3}*[(x^2 - \frac{21x}{4} + \frac{441}{64}) - \frac{441}{64}][/TEX]

[TEX]f(x) = -\frac{1}{3}*(x - \frac{21x}{8})^2 + \frac{441}{192}[/TEX]

Die Höhe des Dreickes (Abstand des Scheitelpunkts von der x-Achse) beträgt 441/192 LE

Fläche des Dreiecks:

[TEX]A = \frac{a*h}{2} = \frac{21}{4}*\frac{441}{192}*\frac{1}{2} = 6,029296975 FE[/TEX]

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 6,03 FE (gerundet).