Kurvendiskussion

1) Nullstelle
Bedingung: f(x) = 0

[TEX]f(x) = (1 - e^x)^2 = 0[/TEX]

[TEX]e^x = 1[/TEX]

x = 0

Die einzige Nullstelle liegt bei x = 0

2) Extrema
Bedingung: f'(x) = 0

[TEX]f(x) = (1 - e^x)^2 = 1 - 2e^x + e^{2x}[/TEX]

[TEX]f'(x) = 2e^{2x} - 2e^x = 0[/TEX]

[TEX]2e^x(e^x -1) = 0[/TEX]

2*e^x kann nicht den Wert Null annehmen! Folglich: [TEX](e^x - 1) = 0[/TEX]

[TEX]e^x = 1[/TEX]

x = 0

An der Stelle x = 0 liegt ein Extremwert vor.

An der Stelle x = 0 liegt mit E (0 / 0) ein lokales Minimum vor.

3) Wendepunkte
Bedingung: f''(x) = 0

[TEX]f''(x) = 4 e^{2x} - 2 e^x = 0[/TEX]

[TEX]e^x(e^x - \frac{1}{2}) = 0[/TEX]

e^x kann den Wert Null nicht annehmen!

[TEX]e^x = 2^{-1}[/TEX]

Daraus folgt: x = - ln(2)

Der Wendepunkt liegt bei W (- ln(2) / 0,25)

4) Definitionsbereich:

Die Funktion ist für den Bereich von -oo bis + oo definiert.

5) Verhalten der Funktion

a) Für x-Werte, die gegen - oo streben, läuft die Funktion gegen den Wert 1. Das heißt: Die Funktion strebt gegen die Asymptote x = 1

b) Für x-Werte, die gegen + oo streben, läuft der Funktionswert auch gegen +oo

Als Nachtrag kannst du dir hier den Verlauf des Graphen ansehen.