Ist das eine lineare Funktion

1. offizieller Beitrag

    Ist das eine linaere Funktion y=|x| brauche eine gute begründung

    Bis jetzt bin ich der meinung ja den jeden x wet wird genau ein y wet zugeordnet z.B A(2/2) und B(-2/2)

    Lineare Funktionen sind stetig und differenzierbar.
    Diese funktion hat einen Knick, ist deswegen zwar nicht unstetig, aber nicht differenzierbar.
    Daher ist es keine lineare Funktion.

    Das ist schwierig! Eigentlich ist das keine Aufgabe für die 8. Klasse, da ihr noch nicht die Differentialrechnung kennt.
    Ich versuche es mal so in vereinfachter Form:
    Bei der Differentialrechnung geht es darum, eine Tangente an eine Kurve anzulegen und deren Steigung zu ermitteln. Bei einem Knick ist das nicht möglich, man hat für den einen Punkt zwei mögliche Tangenten: Eine von rechts und eine von links, und damit gilt die Funktion als nicht differenzierbar.
    Ist das so weit verständlich?

    • Offizieller Beitrag

    Einfach erläutert: Eine lineare Funktion liegt dann vor, wenn die unabhängig Veränderliche - hier x - in der ersten Potenz auftritt. Das ist der Fall.
    Eine andere Erklärung: Lineare Funktionen ergeben als Bild immer Geraden. Der Graph von y = lxl sind zwei Geraden, die V-förmig im Ursprung aufeinander stehen. (Es handelt sich dabei um die Winkelhalbierenden des ersten und zweiten Quadranten.)

    Hallo

    in der Schulmathematik ist eine lineare Funktion normalerweise definiert als eine Funktion der Gestalt

    [TEX]y = mx + b[/TEX],

    wobei m und b reelle Zahlen sind. Die Variable x kommt also höchstens in der ersten Potenz vor. Diese Funktion beschreibt stets eine Gerade, wobei m auch die Steigung und b der y-Achsenabschnitt der Funktion heißt.

    Die Funktion [TEX]y = |x|[/TEX] hat nicht diese Gestalt. Das sieht man wohl besser, wenn man sich einmal anschaut, wie die Betragsfunkton manchmal auf Taschenrechnern oder in Programmiersprachen dargestellt wird, nämlich meist als abs(x). Die Funktion lautet also anders aufgeschrieben

    [TEX]y = \mathrm{abs}(x)[/TEX].

    An dieser Schreibweise erkennt man denke ich deutlicher, dass es sich nicht um eine Funktion der Gestalt [TEX]y = mx + b[/TEX] handelt, anderenfalls könnte man mit derselben Begründung auch die Sinusfunktion [TEX]y = \sin(x)[/TEX] für eine lineare Funktion halten.

    Eine andere Begründung ist die Tatsache, dass du im Nullpunkt keine eindeutige Steigung ermitteln kannst: nach links ist die Steigung -1, nach rechts ist sie 1, eben weil die Funktion im Nullpunkt einen Knick besitzt. Das ist auch das, was der Kollege weiter oben gemeint hat: Die Funktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, das bedeutet, dass es nicht möglich ist, im Nullpunkt eine Steigung anzugeben. Du merkst das beispielsweise daran, dass du drei völlig verschiedene Funktionen erhältst, wenn du die Funktion beispielsweise aus den Punkten (-1 / 1) und (0 / 0), aus den Punkten (0 / 0) und (1 / 1) oder aus den Punkten (-1 / 1) und (1 / 1) bestimmen willst, während ihr im Unterricht sicherlich schon gelernt habt, dass man bei einer linearen Funktion die Gleichung aus je zwei beliebigen Punkten, die nur verschieden sein müssen, stets eindeutig bestimmen kann. Das geht bei der Betragsfunktion wie gesehen nicht.

    Hoffe dass dir das weiterhilft.

    lg