Grenzwertberechnung (Funktionen)

1. offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe: lim (sqrt(x^(2)+3x)-sqrt(x^(2)+x)) für x -> - unendlich kommt -1 heraus.
    Wie kommt man darauf?
    Wenn ich umforme (Grenzwertsätze/ Wurzelgesetze/ Ausklammern) dann kommt häufig ein undefiniertes Ergebnis heraus,
    Wie sollte man also bei einer Aufgabe mit Wurzel am besten vorgehen?
    Vielen Dank für eure Hilfe!

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe kommt es auf die mathematische Umformung an, aus diesem Grunde lasse ich die Limes-Schreibweise aus.

    Zunächst formst du die Funktion durch Erweitern unter Berücksichtigung der dritten Binom. Formel um:

    [TEX]\frac{\sqrt{x^2+3x} -\sqrt{x^2+x}}{1}=\frac{(\sqrt{x^2+3x} -\sqrt{x^2+x})*(\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+x})}{\sqrt{x^2+3x} +\sqrt{x^2+x}}[/TEX]

    Der Zähler vereinfacht sich zu:

    [TEX]\frac{x^2+3x-x^2-x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+x}}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2+x}}[/TEX]

    Im Nenner ziehst du aus x² die Wurzel:

    [TEX]\frac{2x}{x*\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x*\sqrt{1+\frac{1}{x}}}[/TEX]

    Du kürzt durch x und bekommst diesen Term:

    [TEX]\frac{2}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}[/TEX]

    Jetzt kannst du die Grenzwertbetrachtung machen:

    Strebt der x-Wert gegen Unendlich, laufen die Ausdrücke 3/x und 1/x gegen Null.

    Folglich bleiben im Nenner die beiden Wurzeln aus 1:[TEX]\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=1[/TEX]

    Letzte Überlegung hinsichtlich des Vorzeichens!!!