Hallo Forum User 
ich muss folgendes in Mathe lösen
Gegeben sind die Gerade g und h durch ihre Gleichung.
Das sind die beiden Gleichungen:
http://i.imgur.com/HxD9X6T.jpg
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g und h und zeigen Sie; dass sich beide Geraden senkrecht schneiden.
Ich weiß keinen Lösungsansatz oder wie das Funktionieren soll! Bitte um Hilfe...
Gruß
Hallo,
Wenn die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben, dann liegt dieser natürlich logischerweise auf beiden Geraden, d.h. in den beiden Gleichungen stimmt der Ortsvektor [TEX]\vec{s}[/TEX] überein, so dass du die beiden Gleichungen für den Schnittpunkt S also gleichsetzen kannst:
[TEX]\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-3\\4\end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}[/TEX].
Diese Gleichung zerlegst du nun in ihre drei Komponenten und erhältst so drei Gleichungen, aus denen du versuchst, [TEX]\lambda[/TEX] und [TEX]\mu[/TEX] zu berechnen. Gelingt dir dies, dann hast du damit gezeigt, dass die beiden Geraden sich schneiden; gelingt es dir nicht, dann sind sie entweder parallel oder windschief. Sehen wir uns die drei Gleichungen einfach mal genauer an. Sie lauten offenbar:
[TEX]\begin{aligned}2 + 3\lambda &= 3 - \mu\\-1 + 2\lambda &=-3 + 2\mu\\3 + \lambda &=4 - \mu\end{aligned} \Leftrightarrow \begin{aligned}3\lambda &= 1 - \mu\\2\lambda &=-2 + 2\mu\\\lambda &= 1 - \mu\end{aligned} \Leftrightarrow \begin{aligned}\lambda &= 0\\\mu &= 1\\\lambda &= 1 - \mu\end{aligned}[/TEX].
Die ersten beiden Gleichungen liefern dir [TEX]\lambda[/TEX] und [TEX]\mu[/TEX], in der dritten Gleichung musst du noch überprüfen, dass sie für die gefundenen Werte von [TEX]\lambda[/TEX] und [TEX]\mu[/TEX] auch richtig ist, was hier der Fall ist. Da wir also Zahlen [TEX]\lambda[/TEX] und [TEX]\mu[/TEX] finden konnten, ist damit gezeigt, dass die beiden Geraden sich schneiden. Wenn du nun das gefundene [TEX]\lambda[/TEX] in die erste Gleichung einsetzt, erhältst du den gesuchten Ortsvektor des Schnittpunktes S:
[TEX]\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}[/TEX].
Alternativ kannst du auch die zweite Gerade und [TEX]\mu[/TEX] benutzen.
Wenn du nun auch noch zeigen möchtest, dass die beiden Geraden sich senkrecht schneiden, musst du überprüfen, ob ihre Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihr Skalarpordukt Null wird. Berechnen wir also das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren:
[TEX]\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix} = -3 + 4 -1 = 0[/TEX].
Da das Skalarprodukt Null ist, sind die Richtungsvektoren also senkrecht und damit schneiden die beiden Geraden sich senkrecht.
Hoffe, dass ich dir damit weiterhelfen konnte.
lg
