Substitution

Hi,
erstmal x ausklammern:

[TEX]x^5 - 4x^3 - 5x = 0[/TEX]

[TEX]x \cdot (x^4 - 4x^2 - 5) = 0[/TEX]

Eine Nullstelle ist somit schonmal [TEX]x_1 = 0[/TEX].
Für die Klammer kann man jetzt x² durch a substitutieren/ersetzen. Dadurch erhält man:

[TEX]a^2 - 4a - 5 = 0[/TEX]

[TEX](a + 1) \cdot (a - 5) = 0[/TEX]

Folglich ist [TEX]a_1 = -1[/TEX] und [TEX]a_2 = 5[/TEX].

Mit x² = a gilt: [TEX]x_2 = \sqrt 5[/TEX] und [TEX]x_3 = - \sqrt 5[/TEX].

[TEX]x^2 = -1[/TEX] ist in den reellen Zahlen nicht lösbar und fällt somit weg.

LG nif7

Bei der quadratischen Gleichung

a² -4a - 5 = 0

kannst du entweder ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen anwenden (z. B. die p-q-Formel) oder ohne großartige Rechnung erkennen, dass eine Lösung a = -1 sein muss.

Wenn du das weißt, dann kannst du mit Hilfe der Polynomdivision die Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegen:

[a² -4a -5]:[a +1] = a - 5
a² +a
-5a -5
5a +5
0

Ein Produkt wird dann Null, wenn ein Faktor Null wird:

Also, erste Möglichkeit: a + 1 = 0 Daraus folgt: a1 = -1
Zweite Möglichkeit: a - 5 = 0 Daraus folgt: a2 = 5

Zitat

Wie kommt man von (a^2-4a-5) auf (a+1) (a-5)??

Das ist der Satz von Vieta

-4 = 1 + (-5)
-5 = 1 * (-5)