Substitution

1. offizieller Beitrag
    • Offizieller Beitrag

    Hi,
    erstmal x ausklammern:

    [TEX]x^5 - 4x^3 - 5x = 0[/TEX]

    [TEX]x \cdot (x^4 - 4x^2 - 5) = 0[/TEX]

    Eine Nullstelle ist somit schonmal [TEX]x_1 = 0[/TEX].
    Für die Klammer kann man jetzt x² durch a substitutieren/ersetzen. Dadurch erhält man:

    [TEX]a^2 - 4a - 5 = 0[/TEX]

    [TEX](a + 1) \cdot (a - 5) = 0[/TEX]

    Folglich ist [TEX]a_1 = -1[/TEX] und [TEX]a_2 = 5[/TEX].

    Mit x² = a gilt: [TEX]x_2 = \sqrt 5[/TEX] und [TEX]x_3 = - \sqrt 5[/TEX].

    [TEX]x^2 = -1[/TEX] ist in den reellen Zahlen nicht lösbar und fällt somit weg.

    LG nif7

    • Offizieller Beitrag

    Bei der quadratischen Gleichung

    a² -4a - 5 = 0

    kannst du entweder ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen anwenden (z. B. die p-q-Formel) oder ohne großartige Rechnung erkennen, dass eine Lösung a = -1 sein muss.

    Wenn du das weißt, dann kannst du mit Hilfe der Polynomdivision die Gleichung in ihre Linearfaktoren zerlegen:

    [a² -4a -5]:[a +1] = a - 5
    a² +a
    -5a -5
    5a +5
    0

    Ein Produkt wird dann Null, wenn ein Faktor Null wird:

    Also, erste Möglichkeit: a + 1 = 0 Daraus folgt: a1 = -1
    Zweite Möglichkeit: a - 5 = 0 Daraus folgt: a2 = 5