Trigonometrie

    Aufgabe
    Erklären Sie jeweils in einem Satz anhand eines rechtwinkligen Dreiecks.

    1. Im englischsprachigen Raum merken sich Schülerinnen und Schüler die Definitionen der trigonometrischen Funktionen mit dem Wort sohcahtoa. Dabei stehen o für opposite (entgegengesetzt) und a für adjacent (anliegend).



    2. cos(α) = sin(90°-α)



    3. sin(α)² + cos(α)² = 1

    kann mir jemand helfen?
    LG :)

    Hallo,

    Um das Ganze in jeweils einen Satz zu packen, könntest du etwas sagen wie

    • Im rechtwinkligen Dreieck ergeben sich die Winkelfunktionen aus den Verhältnissen der Kathetenlängen zur Länge der Hypotenuse (Sinus und Kosinus) bzw. aus den Längenverhältnissen der Katheten zueinander (Tangens und Kotangens).
    • Im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Kosinus eines Hypotenusenwinkels dem Sinus des gegenüberliegenden Hypotenusenwinkels.
    • Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus eines Winkels aufgrund des Satzes von Pythagoras gleich 1.

    Erklärung dazu:

    Bei 1. handelt es sich schlichtweg um die Definitionen der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck:

    • soh: Der Sinus ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (opposite) zur Länge der Hypotenuse [TEX]\sin \alpha = \frac{o}{h}[/TEX]
    • cah: Der Kosinus ist ist das Verhältnis den Ankathete (adjacent) zur Länge der Hypotenuse [TEX]\cos \alpha = \frac{a}{h}[/TEX]
    • toa: Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (opposite) zur Länge der Ankathete (adjacent) [TEX]\tan \alpha = \frac{o}{a}[/TEX]

    2. Bezeichnen wir die Winkel im Dreieck mit [TEX]\alpha, \beta, \gamma[/TEX], wobei [TEX]\gamma[/TEX] der rechte Winkel sei. Da die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt und da [TEX]\gamma = 90°[/TEX] gilt, ist also [TEX]\alpha + \beta = 90°[/TEX] bzw. [TEX]\beta = 90° - \alpha[/TEX]. Es ist also [TEX]\sin(90° - \alpha) = \sin \beta = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}}[/TEX] wie in 1. gesehen. Die Gegenkathete von [TEX]\beta[/TEX] ist aber gerade die Ankathete von [TEX]\alpha[/TEX], d.h. wir können weiter schreiben

    [TEX]\sin(90° - \alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} = \cos \alpha[/TEX]


    wiederum nach 1.

    3. Hier setzt du einfach die Definition aus 1. ein und erhältst

    [TEX]\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{o^2}{h^2} + \frac{a^2}{h^2} = \frac{o^2 + a^2}{h^2}[/TEX]


    Nach dem Satz von Pythagoras ist der Zähler gleich [TEX]h^2[/TEX] und damit erhältst du weiter

    [TEX]\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{o^2}{h^2} + \frac{a^2}{h^2} = \frac{o^2 + a^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1[/TEX]

    Einmal editiert, zuletzt von HarryPotter (25. Oktober 2014 um 21:21)