Geometrische Folge

Es gilt:

a1 +a3 + a5 = 63

1. Gleichung: [TEX]a + a*q^2 + a*q^4 = 63[/TEX]

1. Gl. [TEX]1 + q^2 + q^4 = \frac{63}{a}[/TEX]

a2 + a4 = 30

aq + aq³ = 30

2. Gleichung: [TEX]q +q^3 =\frac{30}{a}[/TEX]

Aus diesen beiden Gleichungen musst du a eliminieren.

Zu diesem Zweck dividierst du Gleichung 1 durch Gleichung 2.

[TEX]\frac{1+q^2 + q^4}{q^3+q}=\frac{63}{a} : \frac{30}{a} = 2,1[/TEX]

Daraus folgt: [TEX]1 + q^2 + q^4 = 2,1q^3 + 2,1q[/TEX]

Das führt auf eine Gleichung 4. Grades:

[TEX]q^4 -2,1q^3 +q^2 -2,1q + 1 = 0[/TEX]

Diese Gleichung ist zu lösen. Es gibt mehrere mögliche Lösungsverfahren.
Du kannst es auch mit einzelnen Werten ausprobieren.

Wenn du für q = 2 einsetzt, hast du eine erste Lösung.
Eine weitere Lösung ist q = 1/2. (Diese beiden Lösungen sind die einzigen!)

Wenn du für q = 2 einsetzt, kannst du a berechnen.

q = 2 a = 3

Damit hättest du folgende geometrische Reihe:

3 + 6 + 12 + 24 + 48

3 + 12 + 48 = 63

6 + 24 = 30

Oder - für q = 1/2 - ergibt sich für a = 48

und damit die umgekehrte Reihenfolge

48 + 24 + 12 + 6 + 3