Extrempunkt ausrechnen bei Kurvenschar

    Ich muss folgende Aufgabe lösen: Bestimmen sie das Minimum der Funktion fa(x)=x^2 + ax - a , (a aus reelen Zahlen.) Ich hab ein Problem mit der hinreichenden Bedingung. Ich komme zu keinem Ergebnis. Kann mir genau erklären wie ich vorgehen muss ?

    Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle ist, dass an dieser Stelle die erste Ableitung der Funktion eine Nullstelle besitzt. Man muss also zuächst die gegebene Funktion einmal ableiten.

    [TEX]f_a(x) = x^2+ax-a[/TEX]

    [TEX]f_a'(x) = 2x+a[/TEX]

    Aus der hinreichenden Bedingung [TEX]f_a'(x) = 0[/TEX] ergibt sich:

    [TEX]0 = 2x+a[/TEX]

    [TEX]-2x = a[/TEX]

    [TEX]x = -\frac{1}{2}a[/TEX]

    Das ist jetzt also die Stelle, an der sich ein Extremum befindet. Um zu klren, ob dieses Extremum auch gleichzeitig ein Minimum ist ist, muss man die zweite Ableitung bilden.

    [TEX]f_a''(x) = 2[/TEX]

    Die Bedingung für ein Minimum an der Stelle [TEX]x_0[/TEX] ist: [TEX]f_a''(x_0) > 0[/TEX]. Da dies immer erfüllt ist, handelt es sich um ein Minimum.
    Zuletzt muss noch die y-Koordinate des Minimums bestimmt werden. Dafür setzt man die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein.

    [TEX]f_a(f_a(-\frac{1}{2}a) = (-\frac{1}{2}a)^2+a(-\frac{1}{2}a)-a[/TEX]

    [TEX]f_a(-\frac{1}{2}a) = -\frac{1}{4}a^2-a[/TEX]

    Abschließend hat man dann die allgemeinen Koordinaten des Minimums der Kurvenschar abhängig vom Parameter a mit

    [TEX]T_a(-\frac{1}{2}a| -\frac{1}{4}a^2-a)[/TEX]