Uneigentliche Integrale

    Hallo zusammen ,

    ich habe eine Frage bezüglich Uneigentlicher Integrale und zwar wie finde ich heraus , ob die Funktion eine endliche Fläche hat oder nicht ?

    Also bspw.

    1. f(x) =y=2/x^2 Grenzen z und 1 und 2. f(x) = y=2/x^2 Grenzen 3 und z


    das Verfahren ist klar :
    zunächst Stammfunktion bilden und danach Grenzen einsetzen

    f(x)=2-(2/z) und f(x)=-2/3+(2/z)

    Wie finde ich denn nun heraus, ob die funktion eine endliche fläche besitzt oder nicht ?

    wenn ich eine unendliche große zahl einsetze erhalte ich für die 1.funktion =2 und bei der 2. funktion -0,6666 aber was sagt mir denn die zahl -0,6666


    Bin für jede Hilfe dankbar !

    Hallo,

    Die Funktion ist:

    [TEX]f(x) = \dfrac{2}{x^2} = 2x^{-2}[/TEX]

    Für die Fläche, begrenzt von der unteren Grenze z und der oberen Grenze 1 gilt:

    [TEX]A(z) = \displaystyle\int\limits_z^1[f(x)]dx = [-2x^{-1}]\limits_z^1 = -2+\dfrac{2}{z}[/TEX]

    Wenn z jetzt immer kleiner wird, dann wird, weil z im Nenner steht der Term 2/z immer größer der Summand -2 hat dann kaum noch Auswirkungen. Deshalb gilt:
    Für z gegen null geht der Flächeninhalt A(z) gegen unendlich. Der Flächeninhalt ist also nicht endlich.

    Für die Fläche, begrenzt von der unteren Grenze 3 und der oberen Grenze z gilt:

    [TEX]A(z) = \displaystyle\int\limits_3^z[f(x)]dx = [-2x^{-1}]_3^z = -\dfrac{2}{z}+\dfrac{2}{3}[/TEX]

    z steht jetzt wieder im Nenner, da die Fläche aber nach rechts unbegrenzt ist, wird z immer größer. Der Term -2/z wird demnach immer kleiner, bis man ihn bei sehr großen z vernachlässigen kann. Was bleibt ist der Summand +(2/3). Dieser ist unabhängig von z konstant. Daher gilt:
    Für z gegen unendlich strebt A(z) gegen den Grenzert 2/3. Die Fläche ist also endlich.


    Hoffe ich konnte helfen

    Gruß
    Yonni