Natürliche Exponentialfunktion

1. offizieller Beitrag

    Hallo Leute,
    ich hab zwei Fragen zur e-Funktion:

    1.) Wie löst man diese Gleichung?
    0,2 = xe^(-0,5x)

    2.) Wie leitet man diese Funktion ab?
    f(t) = (2-x)e^(-0,5x)

    Bei 1.) weiß ich, dass zwei Lösungen rauskommen müssen, mit dem GTR kann ich auch ausrechnen welche. Aber wie man exakt umformt weiß ich nicht.
    Bei 2.) braucht man doch die Produktregel? Es ist aber immer falsch.

    Danke für eure Hilfe.

    • Offizieller Beitrag

    1) Wenn man die Funktion f(x) = x*e^(-0,5x) zeichnet, dann wird der Graph von der Geraden f(x) = 0,2 zweimal geschnitten, folglich gibt es zwei Schnittpunkte.
    Die Berechnung der Schnittpunkte solltest du mit Hilfe eines Näherungsverfahrens vornehmen. Dazu bietet sich an das Newton-Verfahren oder die Regula falsi.
    Du gehst dabei von der Funktion f(x) =x*e^(-0,5x)-0,2 = 0 aus und suchst die Nullstellen.

    Nullstellen dieser Funktion findet man bei x1 = 0,223664 und x2 = 7,1543

    2) Die erste Ableitung bestimmst du natürlich mit Hilfe der Produktregel:

    f(x) = (2-x)*e^(-0,5x)

    [TEX]f'(x)=-e^{-0,5*x}-(2-x)*(0,5)*e^{-0,5*x}[/TEX]