Schräger Wurf

    1)
    Die russische Kugelstoßerin stößt die 8kg Kugel mit 15m/s und einem Winkel 40° aus einer Schulterhöhe von 2,40m aus.
    Wie lang fliegt die Kugel? Wie weit fliegt sie? Wie groß ist die Endgeschwindigkeit? In welchem Winkel trifft die Kugel auf?
    Wie hoch fliegt sie? Wie lang steigt die Kugel?


    2)
    Aus einer Höhe von 8m wird ein Ball mit 15m/s in einem Abwurfwinkel 30° abgeworfen.
    Wie weit fliegt der Ball? Wie lange ist er


    Ich bitte um Hilfe. Danke im voraus.

    Umfangreich die Aufgabe ;)

    Nimm an, die Kugel hat am Anfang die Geschwindigkeit [TEX]v_0[/TEX]. Der Abwurfwinkel sei [TEX]\alpha[/TEX].
    Die Anfangsgeschwindigkeit lässt sich vektoriell in eine horizontale- [TEX]v_0_x[/TEX] und eine vertikale- [TEX]v_0_y[/TEX] Komponente aufteilen.
    Demnach gilt:

    [TEX]v_0_x = v_0 \cdot \cos(\alpha)[/TEX] und
    [TEX]v_0_y = v_0 \cdot \sin(\alpha)[/TEX]

    Für die weiteren Berechnungen benötigen wir den Zusammenhang zwischen der verstrichenen Zeit [TEX]t[/TEX] und dem Ort der Kugel. Weil keine horizontale Kraft auf die Kugel einwirkt, bleibt [TEX]v_0_x[/TEX] immer konstant und man kann für die x-Koordinate der Kugel folgenden Gleichug aufstellen:
    [TEX]x = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t[/TEX]
    Durch die Erdbeschleunigung wird die Kugel jedoch konstant nach unten beschleunigt. Für die y-Koordinate gilt also:
    [TEX]y = h_0 - \frac{1}{2} g t^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t[/TEX]

    Dann muss man die Gleichung für die x-Koordinate nach [TEX]t[/TEX] umforemen und in die Gleching für die y-Koordinate einsetzen, um eine Funktion für y in Abhängigkeit von x zu erhalten:
    [TEX]y(x) = h_0 - \dfrac{g}{2v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)} \cdot x^2 + x \cdot \tan(\alpha) [/TEX]

    Für diese quadratische Funktion suchst du die Nullstelle mit [TEX]x \neq 0[/TEX]. Der x-Wert des Schnittpunktes mit der x-Achse (dem Boden) gibt dir dann die Wurfweite an. Um die Flugzeit der Kugel zu berechnen musst du einfach die Wurfweite durch die Horizontalgeschwindigkeit [TEX]v_0_x[/TEX] dividieren.

    Für die Endgeschwindigkeit bildest du dir eine Funktion für die Vertigalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, setzt für die Zeit den Wert ein, den du für die Nullstelle ausgerechnet hattest. Dann addierst du die Vertigkalgeschwindigkeit vektoriell mit der Horizontalgeschwindigkeit. Die Summe ist dann die Geschwindigkeit der Kugel zu dem zeitpunkt als sie auf dem Boden aufschlägt.
    Für den Aufprallwinkel bildest du die Ableitung von obiger y(x)-Funktion für den Zeitpunkt des Aufpralls. Aus der Ableitung kannst du dann auf den Winkel schließen.

    Den höchsten Punkt hat die Kugel dann erreicht, wenn [TEX]v_y = 0[/TEX] gilt. Denn Zeitpunkt, zu dem dies der Fall ist nenne ich mal [TEX]t_H[/TEX]. Die Gleichung ist dann:
    [TEX]0 = v_0_y - g \cdot t_H[/TEX]
    Durch Umforemen erhält man für die Steigzeit:
    [TEX]t_H = \dfrac{v_0_y}{g}[/TEX]

    Die zeit, die du hier raushast, kann st du dann wieder in die y(x) Funktion einsetzen, um den größte Flughöhe der Kugel herauszufinden.


    Für die zweite Aufgabe gelten die selben Überlegungen. Du musst halt [TEX]h_0 = 8m[/TEX] einsetzen.


    Ich hoffe, ich konnte helfen.
    Gruß
    Yonni