Funktionsschar - Nullstellen

1. offizieller Beitrag

    Hallo,

    mich würde mal folgende Aufgabe interessieren:

    Gegeben ist die Funktionsschar fk(x) = x² - k*x + 4

    a) Bestimmen Sie einen Wert für k, damit die Funktion genau eine Nullstelle hat.

    b) Welchen Wert darf k annehmen, damit keine Nullstellen vorhanden sind?

    Also Aufgabe b) habe ich, soweit ich das beurteilen kann, richtig.. Wenn k=x ist, gibt es keine Nullstellen. Denn x²-x²+4 = 4

    Aber bei a) komme ich einfach nicht weiter.. Es gilt die Aufgabe rechnerisch zu lösen, nicht eine bloße Zahl hinzuschreiben.

    Ich würde mich über Hilfe freuen.

    • Offizieller Beitrag

    Hi,
    berechne die Nullstelle einfach so, als ob k eine Zahl wäre.
    Dabei sollte dann "ein" Punkt (x|y) rauskommen, wobei y ein Term mit k ist.
    Wenn du das hast, brauchst du dir nur noch überlegen, für welche Werte von k es genau ein oder kein gültiges (x|y) gibt.

    LG nif7

    • Offizieller Beitrag

    Deine Lösung zu b) ist leider FALSCH, denn wenn die x-Glieder entfallen, dann hast du keine Funktion mehr!

    Eine andere Möglichkeit wäre, die Funktionsgleichung der Parabel in die Scheitelform umzuformen:

    fk(x) = (x-k/2)²+4-k²/4

    Wenn 4 - k²/4 = 0 dann berührt die Parabel die x-Achse.

    4 = k²/4

    k² =16

    k1 = 4

    k2 = -4

    Folglich liegt jeweils nur eine Nullstelle vor bei

    fk(x) = (x-2)² und fk(x) =(x+2)²

    Wenn (4 -k²/4) > 0 dann wird die Parabel um diesen Betrag nach oben verschoben und schneidet nicht mehr die x-Achse, hat also keine Nullstellen.

    Zitat von Thomas1

    Hallo,

    mich würde mal folgende Aufgabe interessieren:

    Gegeben ist die Funktionsschar fk(x) = x² - k*x + 4

    a) Bestimmen Sie einen Wert für k,
    damit die Funktion
    genau eine Nullstelle hat.

    [...]

    Damit die Funktion genau 1 Nullstelle hat,
    muss gelten:

    D = p2 – 4q = 0

    Die Funktion hat die Form:

    f(x) = x2 + px + q

    p soll bestimmt werden,
    q ist bekannt, nämlich 4.

    Also gilt:

    0 = p2 - 4 • 4

    0 = p2 - 16

    16 = p2

    ±4 = p


    Der Wert für k wäre also plus 4 oder minus 4.

    Probe:

    k = 4

    fk(x) = x² +4x + 4

    0 = x(x + 4) + 4

    x = -2

    0 = -2(-2 + 4) + 4

    0 = -2(2) + 4

    0 = -4 + 4

    0 = 0