Hallo.
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter 
Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Einem Kegel mit einem Öffnungswinkel (alpha) sei eine Halbkugel aufgesetzt. Die matellinie s des kegels beträgt s=10 cm.
a) entwickle eine Formel zur Berechnung des Volumens des zusammengesetzten Körpers (Kegel und Halbkugel) in Abhängigkeit von Winkel (alpha).
b) stelle den Zusammenhang zwischen dem Volumen V und dem öffnungswinkel (alpha) in einem Koordinatensystem zeichnerisch dar.
Bitte helft mir!!
Alles anzeigenHallo.
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter
Vielleicht könnt ihr mir helfen.Einem Kegel mit einem Öffnungswinkel (alpha)
sei eine Halbkugel aufgesetzt.Die matellinie s des kegels beträgt s=10 cm.
a) entwickle eine Formel zur Berechnung des Volumens
des zusammengesetzten Körpers (Kegel und Halbkugel)
in Abhängigkeit von Winkel (alpha).[...]
Bitte helft mir!!
Die Aufgabenstellung verstehe ich so:
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Kegel_Halbkugel.jpg]
Kegel
Das Volumen eines Kegels beträgt:
[TEX]V_{Kegel} = \dfrac{A * h}{3}[/TEX]
Im diesem rechtwinkligen Dreieck gilt:
[TEX]\sin \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{a}{c}[/TEX]
[TEX]\cos \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{h}{c}[/TEX]
ersetzen durch die gegebenen Größen:
[TEX]\sin \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{r}{s}[/TEX]
[TEX]\cos \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{h}{s}[/TEX]
umstellen nach r:
[TEX]r = \sin \dfrac{\alpha}{2} * s[/TEX]
umstellen nach h:
[TEX]h = \cos \dfrac{\alpha}{2} * s[/TEX]
Die Kreisfläche des Kegel ist:
[TEX]A = \pi r^2[/TEX]
Also setze ich alles
in die Volumenformel ein:
[TEX]V_{Kegel} = \pi r^2 * \dfrac{h}{3}[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= \pi \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^2 * \dfrac{\cos \dfrac{\alpha}{2} * s}{3}[/TEX]
Halbkugel
Das Volumen einer Kugel beträgt:
[TEX]V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \pi r^3[/TEX]
Den Radius einsetzen:
[TEX]V_{Kugel} = \dfrac{4}{3} \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^3[/TEX]
Das Volumen von der Halbkugel ist dann:
[TEX]V_{Halbkugel} = \dfrac{\dfrac{4}{3} \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^3}{2}[/TEX]
Der ganze Körper
Dieser ist die Zusammensetzung
aus beiden Volumen.
[TEX]V_{Eistuete} = V_{Kegel} + V_{Halbkugel}[/TEX]
[TEX]V_{Eistuete} = \pi \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^2 * \dfrac{\cos \dfrac{\alpha}{2} * s}{3} + \dfrac{\dfrac{4}{3} \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^3}{2}[/TEX]
Der zusammengesetzte Körper wird durch die Seite s
und in Abhängigkeit vom Winkel alpha beschrieben.
[...]
b) stelle den Zusammenhang
zwischen dem Volumen V und dem öffnungswinkel (alpha)
in einem Koordinatensystem zeichnerisch dar.
Bitte helft mir!!
Folgende Funktion gab ich in den Funktionsplotter ein:
f(x) = 3.141593*(sin(x/2)*10)^2*(cos(x/2)*10)/3+(4/3*(sin(x/2)*10)^3)/2
Ich bekam zuerst diese Bild:
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Kegel_Halbkugel_Graph.png]
Hmmm? Ziemlich wirr, oder?
Für einen Winkel von 180 Grad,
was Pi entspricht,
ist der zusammengesetzte Körper
lediglich eine Halbkugel.
Die Funktion für die Halbkugel
hab ich eingegeben und das erhalten:
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Halbkugel_Graph.png]
An der Stelle π
beträgt das Volumen der Kugel
bei einer Länge von zehn
rund 666 2/3 Volumeneinheiten.
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Halbkugel_Zeichnung.jpg]
Als nächstes hab ich mir das Kegelvolumen angeschaut:
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Kegelvolumen_Graph.png]
Das ist anscheinend bei 1,9 maximal.
[TEX]\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{1,9}{x}[/TEX]
[TEX]x = \dfrac{180*1,9}{\pi}[/TEX]
[TEX]x = 108,86[/TEX]
Das wären also rund 109 Grad.
Bei 3,14... ist es Null, denn:
[TEX]V_{Kegel}= \pi \left (\sin \dfrac{\alpha}{2} * s \right )^2 * \dfrac{\cos \dfrac{\alpha}{2} * s}{3}[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= \pi \left (\sin \dfrac{180}{2} * 10 \right )^2 * \dfrac{\cos \dfrac{180}{2} * 10}{3}[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= \pi \left (\sin 90 * 10 \right )^2 * \dfrac{\cos 90 * 10}{3}[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= \pi \left (1 * 10 \right )^2 * \dfrac{0 * 10}{3}[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= \pi * 100 * 0[/TEX]
[TEX]V_{Kegel}= 0[/TEX]
Der zusammengesetzte Körper kann auch
durch diesen Graphen beschrieben werden:
[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Kegel_Halbkugel_Graph2.png]
An der Stelle 1-Hundert-80 Grad
hat der zusammengesetzte Körper
ein Volumen von rund 667 Volumeneinheiten.
