Gebrochen- rationale Funktionen

Zitat von wikka

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei Aufgaben
mit gebrochen- rationalen Funktionen.

Es ist ein neues Thema bei uns,
welches ich
noch nicht ganz verstehe..

1) Gegeben ist eine Nachfragefunktion
pn mit pn(x) = 5*(5-x)/(x+2)
und eine Angebotsfunktion pa mit pa(x) = 0,9x +1.

a) Ermitteln Sie den maximal ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich der Nachfragefunktion.

[..]

Wie sehen die Funktionen aus?

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Nachfrage_Angebot.png]

Bis zu dem Punkt,
wo die Nachfragefunktion (rot)
die Angebotsfunktion (grün) schneidet,
ist sicherlich der maximal sinnvolle ökonomische Defintionsbereich,
da bis hier noch Ware abgesetzt werden kann.

Wie lautet dieser Punkt?

Nachfrage

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

Angebot

[TEX]pa(x) = 0,9x + 1[/TEX]

Beide Funktionen gleichsetzen:

[TEX]5*\dfrac{5-x}{x+2} = 0,9x + 1[/TEX]

mit (x + 2) multiplizieren,
auf beiden Seiten der Gleichung:

[TEX]5(5-x) = (0,9x + 1) * (x+2)[/TEX]

ausmultiplizieren:

[TEX]25-5x = 0,9x^2 + 1,8x + 1x + 2[/TEX]

zusammenfassen:

[TEX]23 = 0,9x^2 + 7,8x[/TEX]

Ausklammern:

[TEX]23 = x(0,9x + 7,8)[/TEX]

Für welches x,
ist diese Gleichung erfüllt?

Für [TEX]x = 2[/TEX] steht da:

[TEX]23 = 19,2 [/TEX]

Mit ein bisschen probieren,
bin ich auf [TEX]x = 2,325[/TEX] gekommen

dann steht da:

[TEX]23 \approx 23,00006[/TEX]

Die Lösung ist also
[TEX]x \approx 3,25[/TEX]

Bis zu diesem Punkt wird noch nachgefragt.

Der sinnvolle ökonomische Definitionsbereich
liegt sicherlich davor,
denn man möchte Geld bekommen für die Ware.

Zitat von wikka

[...]
Bestimmen Sie die Sättigungsmenge
[...]

Was ist die Sättigungsmenge?

Zitat von Wikipedia: Sättigungsmenge

Die Sättigungsmenge
ist ein Begriff aus Betriebswirtschaftslehre
und der Mikroökonomie.

Sie beschreibt
die theoretisch höchste absetzbare Menge
eines Gutes,
d. h. die nachgefragte Menge,
wenn das Gut
kostenlos wäre.

Die Sättigungsmenge
kann
mit Hilfe der Preis-Absatz-Funktion
berechnet werden.

[...]

Alles anzeigen

Nochmal das Bild:

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Nachfrage_Angebot.png]

An der Stelle 3
wird immer noch nachgefragt.

Dort ist man bereit
2 zu bezahlen.

An der Stelle 4
ist man bereit
ungefähr 1 zu bezahlen.

An der Stelle 5
ist man bereit
5 Stück abzunehmen,
allerdings zum Preis von Null.

Das macht mathematisch Sinn,
denn:

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

[TEX]x = 5[/TEX]

[TEX]pn(5) = 5*\dfrac{5-5}{5+2}[/TEX]

[TEX]pn(5) = 5*\dfrac{0}{7}[/TEX]

Wenn man irgendetwas mit 0 multipliziert,
kommt dabei Null raus.

Auch wenn man diese Null später dann
durch irgendetwas teilt.
(hier wären das sieben)

Zitat von wikka

[...]
Bestimmen Sie [...]
den Höchstpreis
[...]

Bild:

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Nachfrage_Angebot.png]

Wo könnte der Höchstpreis sein?

Wenn nur noch 1 Pizza
in der Tiefkühltruhe liegt,
aber alle genau diese 1 Pizza haben wollen,
dann sind sie vielleicht bereit
dafür sehr viel Geld auszugeben.

Der Höchstpreis könnte also
an der Stelle 1
gefunden werden:

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

[TEX]x = 1[/TEX]

[TEX]pn(1) = 5*\dfrac{5-1}{1+2}[/TEX]

[TEX]pn(1) = 5*\dfrac{4}{3}[/TEX]

[TEX]pn(1) = \dfrac{20}{3}[/TEX]

[TEX]pn(1) = 6 \dfrac{2}{3}[/TEX]

Man wäre also bereit
für 1
einen Höchstpreis
von 6 Ganzen 2 Drittel
zu bezahlen.

Zitat von wikka

[...]
berechnen Sie
den maximalen Erlös.

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Nachfrage_Angebot.png]

Wieviele Stück werden denn nachgefragt,
so dass der gewünschte Preis dafür
auch erzielt wird?

Doch sicherlich bis zu der Stelle
x ≈ 2,325

x rund 2,325

Ich selber kann keine halben
oder keine 2,1 Stücke nachfragen.

Also werden doch nur 2 Stück abgesetzt.

Wieviel würde man dafür einnehmen?

Dazu berechne ich den Preis
an der Stelle 1 und 2.

Bei 1 ist es:

[TEX]pn(1) = 6 \dfrac{2}{3}[/TEX]

Bei 2 ist es:

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

[TEX]x = 2[/TEX]

[TEX]pn(2) = 5*\dfrac{5-2}{2+2}[/TEX]

[TEX]pn(2) = 5*\dfrac{3}{4}[/TEX]

[TEX]pn(2) = \dfrac{15}{4}[/TEX]

[TEX]pn(2) = 3 \dfrac{3}{4}[/TEX]

Beide Preise addieren:

[TEX]6 \dfrac{2}{3} + 3 \dfrac{3}{4}[/TEX]

[TEX]= 6 \dfrac{8}{12} + 3 \dfrac{9}{12}[/TEX]

[TEX]= 9 \dfrac{17}{12}[/TEX]

[TEX]= 10 \dfrac{5}{12}[/TEX]

Man könnte also einen Höchstpreis
von 10 Ganzen 5 Zwölftel
erzielen.

Zitat von wikka

b) Zeigen Sie,
dass für beliebig große Werte für x
die Nachfragekurve zur Grenzerlöskurve wird
und interpretieren Sie Ihr Ergebnis
aus ökonomischer Sicht.

Was ist denn der Grenzerlös?

Zitat von Wikipedia:Grenzerlös

ist der Grenzerlös derjenige Erlöszuwachs,
der sich aus dem Verkauf
einer zusätzlichen Mengeneinheit
ergibt.

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Nachfrage_Angebot.png]

Wieviel könnte ich denn hier verkaufen?

Doch sicherlich nur 4.

Denn bei Nummer 5
würde ich ja kein Geld mehr bekommen.

Also brauche ich die Funktionswerte
der Nachfragefunktion (rot)
für die Stellen Eins, Zwei, Drei und Vier.

1 und 2 hab ich schon berechnet,
es fehlt also 3 und 4:

Bei 3:

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

[TEX]x = 3[/TEX]

[TEX]pn(3) = 5*\dfrac{5-3}{3+2}[/TEX]

[TEX]pn(3) = 5*\dfrac{2}{5}[/TEX]

[TEX]pn(3) = \dfrac{10}{5}[/TEX]

[TEX]pn(3) = 2[/TEX]

Bei 4:

[TEX]pn(x) = 5*\dfrac{5-x}{x+2}[/TEX]

[TEX]x = 4[/TEX]

[TEX]pn(4) = 5*\dfrac{5-4}{4+2}[/TEX]

[TEX]pn(4) = 5*\dfrac{1}{6}[/TEX]

[TEX]pn(4) = \dfrac{5}{6}[/TEX]

Also rechne ich alle 4 Stellen zusammen:

[TEX]6 \dfrac{2}{3} + 3 \dfrac{3}{4} + 2 + \dfrac{5}{6}[/TEX]

[TEX]= 6 \dfrac{8}{12} + 3 \dfrac{9}{12} + 2 + \dfrac{10}{12}[/TEX]

[TEX]= 11 \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}[/TEX]

[TEX]= 11 \dfrac{27}{12}[/TEX]

[TEX]= 13 \dfrac{3}{12}[/TEX]

[TEX]= 13 \dfrac{1}{4}[/TEX]

Ich könnte also 13 Ganze 1 Viertel bekommen.

Allerdings hab ich von diesem Umsatz
nur 2 mit Gewinn verkauft.

2 wären in den roten Zahlen gewesen.