Wahrscheinlichkeit Trefferwahrscheinlichkeit von 3 Geschützen

    Drei Geschütze A, B und C haben die Trefferwahrscheinlichkeit 0,1; 0,15 und 0,2. Berechne, wie viele Salven die Batterie mindestens abgeben muss, damit das Ziel mit mindestens einem Geschütz mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,99 getroffen wird.

    Wir haben da immer die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet mit 1-(x)^n > ... (Wahrscheinlichkeit, hier 0,99).
    Bis jetzt war aber immer nur eine Wahrscheinlichkeit in der Angabe, hier sind ja 3 (also 0,1; 0,15 und 0,2).
    Ich habe schon versucht, die 3 Wahrscheinlichkeiten zusammenzurechnen oder alle einzeln in die Formel einzusetzen, aber das ist anscheinend leider falsch...

    Bitte kann mir da jemand helfen?

    Zitat von IiNeedHeelp

    Drei Geschütze A, B und C
    haben die Trefferwahrscheinlichkeit 0,1; 0,15 und 0,2.

    Berechne, wie viele Salven die Batterie
    mindestens abgeben muss,
    damit das Ziel mit mindestens einem Geschütz
    mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,99
    getroffen wird.

    [...]

    Ich mach mal ein paar Überlegungen:

    Angenommen, ich hätte 1 Geschütz
    das mit einer Wahrscheinlichkeit
    von 50 % trifft.

    Dann würde dieses 1 Geschütz
    sicherlich bei 2 mal schießen,
    1 mal treffen.

    Es wäre also:

    50 % ∙ 2 = 1

    Wenn ich 2 Geschütze habe,
    die je mit einer Wahrscheinlichkeit
    von 50 % treffen,
    so würde ja beide,
    wenn sie zusammen schießen,
    je 1 Schuss abgeben.

    Es wären aber trotzdem
    2 Schuss.

    Dann könnte das mathematisch so aussehen:

    50 % + 50 % = 1

    Oder auch:

    (50 % + 50 %) ∙ 1 = 1

    Beide Geschütze,
    schießen je 1 mal
    und es gibt 1 Treffer.

    [HR][/HR]

    Diese Gedankengänge
    wende ich nun mal auf deine Aufgabe an:

    (0,1 + 0,15 + 0,2) ∙ n = 0,99

    (0,1 + 0,15 + 0,2) ist die Batterie,
    aus Geschütz A, Geschütz B und Geschütz C.

    n sind die Anzahl der Salven.

    (0,1 + 0,15 + 0,2) ∙ n = 0,99
    (0,45) ∙ n = 0,99

    n = 2,2

    Wenn also 22 Salven abgeben werden würden,
    dann wird in 9,9 von 10 Fällen
    getroffen.

    [HR][/HR]

    Das Problem mit so einer Wahrscheinlichkeit,
    ist aber auch,
    dass mal die Munition zur Neige geht,
    die Soldaten müde werden,
    der Wind dreht,
    man in einen Hinterhalt gerät,
    ein Sturm aufkommt,
    oder oder oder.

    So schwer ist diese Aufgabe nicht. Die Wahrscheinlichkeit ist Binomialverteilt. Die Formel dafür lautet:

    P = (n über k) * pk * (1-p)n-k wenn du mehrere Geschütze mit unterschiedlichen wahrscheinlichkeiten hast, wird diese Formel 3 mal benutzt und addiert...

    Du sollst eine Wahrscheinlichkeit von 0,99 bekommen, das mindestens 1 mal getroffen wird --> k=1
    Das gegenereignis dazu ist das mit einer Wahscheinlichkeit von 1-0,99 KEINmal getroffen wird --> k=0

    So lautet deine endgültige Formel dann

    0,01 = (n über 0)* p0 * 0,1(n-0) +(n über 0)* p0 * 0,15(n-0) + (n über 0)* p0 * 0,2(n-0)

    Man kann viel vereinfachen...

    (n über 0) = 1
    p0 = 1

    übrig bleibt:

    0,01 = 0,1n+0,15n+0,2n
    0,01 = 0,45n ---> den natürlichen Logarithmus anwenden, um den exponenten n als normalen Faktor zu bekommen
    ln (0,01) = n *ln(0,45)
    n= ln(0,01)/ln(0,45)
    n= 5,77

    Aufgerundet, weil es nur ganzzahlige Schüsse gibt bedeutet, dass mindestens 6 mal geschossen werden muss um eine 99% Wahrscheinlichkeit eines Treffers zu gewährleisten.

    Hoffe ich konnte Dir helfen! :D