Parabelförmige Bogenbrücke

    Anregungen:

    • zu a)
      Die Strecke AB ergibt sich aus den Nullstellen der Funktion
    • zu b)
      Dazu bildet man aus der Normalform die Scheitelpunktform, aus der Du den Scheitelpunkt ablesen kannst.
    • zu c)
      Punkt C entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse. C(0; y)
    Zitat von Unregistriert

    Hallo liebe Community, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

    [Blockierte Grafik: http://s7.directupload.net/images/131015/temp/gul997ip.jpg]

    Wir sollen rechnen:
    a) Wie viel Meter liegen die Auflegepunkte C und D unterhalb der Fahrbahn?
    b) Berechne die Länge AB der Straße auf der Brücke
    c) Bestimme die max. Höhe des Brückenbogens vom Straßenniveau aus.

    Die Parabel:

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200} x^2 + x - 20[/TEX]

    [Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/Bogenbruecke_Gleichung.png]

    a) Wie viel Meter liegen die Auflegepunkte C und D
    unterhalb der Fahrbahn?

    Punkt D ist der Schnittpunkt der Parabel
    mit der y-Achse.

    Punkt C ist die Waagerechte dieses Schnittpunktes
    mit der Parabel.

    Für x = 0 einsetzen um Punkt D zu erhalten:

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200} 0^2 + 0 - 20[/TEX]

    [TEX]f(x) = - 20[/TEX]

    [TEX]y = - 20[/TEX]

    Punkt D (0 | -20)

    Für welches zweite x,
    erfüllt die Parabel f(x) = -20 ?

    [TEX]-20= - \dfrac{1}{200} x^2 + x - 20[/TEX]

    [TEX]0= - \dfrac{1}{200} x^2 + x[/TEX]

    [TEX]0= - \dfrac{1}{200} x*x + x[/TEX]

    Und weil die 200 schon so oft zu sehen war,
    setze ich die halt mal ein:

    [TEX]0= - \dfrac{1}{200} 200*200 + 200[/TEX]

    [TEX]0= - \dfrac{200}{200}*200 + 200[/TEX]

    [TEX]0= - 1*200 + 200[/TEX]

    [TEX]0= -200 + 200[/TEX]

    Der zweite Punkt ist bei
    C (200 | -20)

    jetzt noch b und c lösen, dann hat Gast das erreicht, was er wollte, nämlich seine Hausaufgaben ohne auch nur einen Finger rühren zu müssen (außer natürlich abzuschreiben).

    LERNEFFEKT = NULL

    Fluffy, wenn ich etwas gar nicht verstehe, und mir jmd. etwas Schritt für Schritt erklärt bzw. mir einen Ansatz gibt, lerne ich etwas.
    Deine Aussage trifft überhaupt nicht zu.

    Anstatt für mich sinnlose Beiträge zu bringen, würde mir Hilfe mehr zusprechen. ;)

    Und vielen Dank qweet. :)

    Zitat von Fluffy

    jetzt noch b und c lösen,
    dann hat Gast das erreicht, was er wollte,
    nämlich seine Hausaufgaben ohne auch nur einen Finger rühren zu müssen
    (außer natürlich abzuschreiben).

    LERNEFFEKT = NULL

    Tut mir Leid, das seh ich auch anders.

    Es ist ja nunmal auch jeder ein anderer Lerntyp
    und Lernen durch Zeigen kann hilfreich sein.

    [HR][/HR]

    b) Berechne die Länge AB der Straße auf der Brücke

    Das ist die Entfernung
    von Nullstelle 1 bis Nullstelle 2.

    Also die Nullstellen berechnen:

    Sicherlich sollte man das
    mit der allgemeinen Lösungsformel

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/TEX]

    machen.

    Das war mir aber zu umständlich.

    Ich hab also auf den Graphen geschaut
    und gesehen,
    dass der 1. X-Wert ein bisschen kleiner
    als 25 ist.

    Dann hab ich in die p-q-Formel umgewandelt:

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200}x^2 + x - 20[/TEX]

    Null setzen

    [TEX]0 = - \dfrac{1}{200}x^2 + x - 20[/TEX]

    Mit -200 multiplizieren

    [TEX]0 = x^2 - 200x + 4000[/TEX]

    Ausklammern

    [TEX]0 = x (x - 200) + 4000[/TEX]

    Ein Zahl multipliziert mit (sich selbst vermindert um 200)
    soll minus 4000 ergeben.

    Durch probieren bin ich dann
    auf x1 ≈ 22,54033 gekommen.

    x2 hab ich dann mit:

    x2 = 200 – x1 ≈ 177,45967

    errechnet.

    Die Straße auf dem Bogen der Brücke
    ist also rund
    177,45967 - 22,54033 = 154,91934 Längeneinheiten lang.

    Vermutlich wohl Meter.

    [HR][/HR]

    Da man den Graphen in der Aufgaben jedoch nicht hat,
    sollte man doch sicherlich
    die allgemeine Lösungsformel nehmen.

    Der obige Weg wäre dann eher mit Raten verbunden.

    Allerdings könnte die - 20
    1 Hinweis sein
    auf die erste Nullstelle.

    Allgemeine Lösungsformel:

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4*(-1/200)*(-20)}}{2*(-1/200)}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+(4/200)*(-20)}}{-2/200}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+(1/50)*(-20)}}{-1/100}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+(- 20/50)}}{-1/100}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+(- 2/5)}}{-1/100}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{1-0,4}}{-1/100}[/TEX]

    [TEX]x_{1,2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{0,6}}{-1/100}[/TEX]

    [TEX]x_1 = \dfrac{-1+\sqrt{0,6}}{-1/100} [/TEX]

    [TEX]x_2 = \dfrac{-1-\sqrt{0,6}}{-1/100}[/TEX]

    c) Bestimme die max. Höhe des Brückenbogens vom Straßenniveau aus.

    Scheitelpunktform:
    f(x) = a(x – d)2 + e

    Scheitelpunkt S (d|e)

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200}x^2 + x - 20[/TEX]

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200}(x^2 - 200x + 4 \ 000)[/TEX]

    Nahrhafte 10 000 einfügen

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200}(x^2 - 200x + 4 \ 000 + 10 \ 000 - 10 \ 000)[/TEX]

    Binom bilden

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200} \left [ (x - 100)^2 + 4 \ 000 - 10 \ 000 \right ][/TEX]

    Zusammenfassen

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200} \left [ (x - 100)^2 - 6 \ 000 \right ][/TEX]

    Ausmultiplizieren

    [TEX]f(x) = - \dfrac{1}{200} (x - 100)^2 + 30[/TEX]

    Scheitelpunkt ist bei:

    S (100 | 30)

    Antwort:

    Die maximale Höhe der Brücke von der Straße
    sind 30 (Meter).

    9 Mal editiert, zuletzt von qweet (16. Oktober 2013 um 18:16)