Extremwertaufgabe, Klasse 11 Gymnasium

Errechne zuerst alle f(x) Werte bei einem x Wert von 0-3. Anschließend zeichnest du die Punkte auf der Parabel ein. Und soweit ich das richtig verstanden habe, machst du einfach ein Rechteck, wobei die y-Achse die linke Seite und die x-Achse die untere Seite bildet, wo der untere linke Eckpunkt auf (0|0) ist und der obere rechte Eckpunkt auf dem Punkt von (1-3|f(1-3) liegt.
Anschließend den Inhalt, der sich innerhalb des Rechtecks und der Parabel befindet, ausrechnen.

Hajo, die Einleitung zur Integralrechnung ist geboren.

Aber wie gesagt, ich weiß nicht, ob ich das richtig verstanden hab.

Zitat von Lisa1997

Hallöchen, nach langer Verzweiflung an meiner Hausaufgabe in Mathe,
habe ich mir hier auch mal so ein Profil zugelegt.

Ich wende mich voller Hoffnung an euch,
da meine Nachhilfe mir auch nicht weiterhelfen konnte

Wir besprechen momentan im Unterricht Extremwertaufgaben.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist die Funktion f(x)=(x-3)² + 2,5 für 0 < x < 3

Von allen achsenparallelen Rechtecken
mit dem Ursprung als einem Eckpunkt
und dem Punkt (x|f(x)) als gegenüberliegenden Eckpunkt
ist derjenige mit maximalem Inhalt
zu bestimmen.

Ich verstehe noch nicht mal so ganz,
was in dieser Aufgabe gefordert ist?

Vielleicht könntet ihr mir helfen, wäre echt super,
glg Lisa

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Die Funktion und so wie ich die Aufgabe verstehe:

[Blockierte Grafik: http://kreisistrund.de/maximales_Rechteck.png]

Du siehst die Funktion
und 2 mögliche Rechtecke unter dem Graphen.

Nun soll aber nicht ein zufälliges Rechteck bestimmt werden
sondern,
das Rechteck,
das einen maximalen Flächeninhalt hat.

Die Fläche eines Rechteckes errechnet sich
mit
a ∙ b.

Zitat von Wikipedia: Rechteck

[Blockierte Grafik: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Rectangle.svg/500px-Rectangle.svg.png]

Angewendet auf die Aufgabe
wäre das nun also:

x ∙ f(x)

Dieser Term soll jedoch
maximal sein
also einen Extremwert bilden.

Den Extremwert bildet man,
indem man die Ableitung einer Funktion bildet.

Also wäre zu bilden:

Ableitung von: x ∙ f(x)

Hier muss nun
die Produktregel angewendet werden:

y = u(x) ∙ v(x)
y' = u'(x) ∙ v(x) + v'(x) ∙ u(x)

u(x) = x
v(x) = (x - 3)² + 2,5

u'(x) = 1
v'(x) = 2(x – 3)

y' = 1 ∙ [(x - 3)² + 2,5] + 2(x – 3) ∙ x
y' = (x - 3)² + 2,5 + (2x – 6) ∙ x
y' = (x - 3)² + 2,5 + 2x² – 6x
y' = x² – 6x + 9 + 2,5 + 2x² – 6x
y' = 3x² – 12x + 11,5

Null setzen um den Extrempunkt zu bestimmen:

0 = 3x² – 12x + 11,5
0 = x² – 4x + 2,875
1,125 + 0 = x² – 4x + 2,875 + 1,125
1,125 = x² - 4x + 4
1,125 = (x – 2)²

Wurzel ziehen

±1,125 = x – 2

3,125 = x₁
0,875 = x₂

An der Stelle x = 0,875
wäre das Rechteck maximal.

3,125 entfällt,
da der Bereich ja von
0 < x < 3 ist.

Der dazugehörige y-Wert auf der Funktion ist:

f(0,875) = (0,875 - 3)² + 2,5
f(0,875) ≈ 7,02

Der Punkt ist: P( 0,875 | 7,02 )

Das Rechteck wäre also:

0,875 ∙ 7,02 = 7,895 Flächeneinheiten.

[HR][/HR]

Sehtest:

Bei der Stelle x = 2
hat die Funktion ungefähr den Wert 3,4 oder 3,5

Hier wäre das Rechteck also circa 6,8 beziehungsweise 7 Flächeneinheiten groß.

Zitat von Lisa1997

Vielen Dank für die ausführliche Antwort,
so haben wir es im Unterricht dann auch besprochen
und die Aufgabe haben einige nicht so ganz verstanden.

Dank dir habe ich jetzt erstmal so richtig verstanden, worums geht,
schreibe mir das nachher auch noch mal so in mein Heft ab,
meine Mathelehrerin schreibt das immer total kompliziert auf

echt supi, danke!!

Na das ist doch schön,
wenn du es verstanden hast.