Kurvendiskussion: Nullstellen (Extrema und Wendepunkte)

1. offizieller Beitrag

    Liebe Benutzer vom Hausaufgaben- Forum ! :smile:
    Ich brauche dringend Eure Hilfe bei meinen Mathehausaufgaben.
    Es handelt sich um eine Kurvendiskussion an folgender Gleichung:

    f(x)= -(3/10)x^4+(9/100)x^3+(243/100)x^2-(177/100)x-(9/50)

    Als erstes sollen wir die Nullstellen berechnen, hierfür wollte ich die Gleichung f(x)=0 setzen, und versuchen ein x zu isolieren bzw. auszuklammern, um möglicherweise an eine pq-Formel zu kommen. Störend ist hier aber das letzte Glied -(9/50). Hier kann ich kein x isolieren und hab auch keinen Lösungsansatz, was ich mit diesen -(9/50) "anstellen" soll. Ich habe versucht diese per Befehlsstrich zu addieren, finde aber (9/50)=-(3/10)x^4... nicht gerade vereinfachend.
    Mithilfe des CAS habe ich ausgerechnet, dass die Nullstelle bei -0,0905 liegen soll. (Garantiere aber nicht für Richtigkeit ;) ) Allerdings dürfen wir nur Lösungen die "zu Fuß" erarbeitet wurden vortragen.

    Bei den Extrema und Wendestellen erübrigt sich das gleiche Problem. Ich habe immer ein Glied ohne x und kann damit nichts anfangen. :roll:

    Ich hoffe, mir kann jemand helfen :warten:
    Liebe Grüße

    • Offizieller Beitrag

    Hi,
    für Polynome mit einem Grad größer als 2 gäbe es die folgenden Möglichkeiten, eine Lösung zu erhalten:
    1. Ausklammern von x
    2. Substitution
    3. Erraten von Lösungen

    In deinem Fall sehe ich allerdings keine Möglichkeit, mit Schul-Arithmetik zu einer Lösung zu gelangen. Man könnte zwar 3/100 ausklammern, um den Term einfacher lesbar zu machen, aber mehr fällt mir hier nicht ein...
    LG nif7

    Zitat von Marielis

    Liebe Benutzer vom Hausaufgaben- Forum ! :smile:
    Ich brauche dringend Eure Hilfe bei meinen Mathehausaufgaben.

    Es handelt sich um eine Kurvendiskussion an folgender Gleichung:

    f(x)= -(3/10)x4+(9/100)x3+(243/100)x2-(177/100)x-(9/50)

    Als erstes sollen wir die Nullstellen berechnen,
    hierfür wollte ich die Gleichung f(x)=0 setzen,
    und versuchen ein x zu isolieren bzw. auszuklammern,
    um möglicherweise an eine pq-Formel zu kommen.

    [...]

    Ich hab mal 3/10 x ausgeklammert
    und das erhalten:

    ausklammern von 3/10:

    f(x) = -(3/10)x4+(9/100)x3+(243/100)x2-(177/100)x-(9/50)

    f(x) = 3/10 ( -x4 +(3/10)x3 +(81/10)x2-(59/10)x-(3/5) )

    Ausklammern von x:

    = 3/10 ( x[ -x3 + (3/10)x2 +(81/10)x-(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( x[ x{ -x2 + (3/10)x +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( x[ x{ x( -x + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

    Jetzt rate ich
    und setze für x = 3/10 ein.

    Probe in Ausgangsgleichung:

    f(x)= -(3/10)(3/10)4+(9/100)(3/10)3+(243/100)(3/10)2-(177/100)(3/10)-(9/50)

    f(x) = 0 + (243/100)(9/100) – (531/1000) -(9/50)

    f(x) = 0 + (2187/10000) – (531/1000) -(9/50)

    f(x) = - 4923/10000 = -0,4923

    Nahe Null jedoch eben nicht wirklich Null.

    3 Mal editiert, zuletzt von qweet (13. August 2013 um 16:41) aus folgendem Grund: Klammern ersetzt durch eckige und geschweifte

    Zitat von Marielis

    Das ist sehr nett! Vielen Dank!

    Ich bin dadruch schon ziemlich weitergekommen :)

    Ich hab mal weitergeraten:

    x = 3/5

    = 3/10 ( x[ x{ x( -x + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( x[ x{ x( -3/5 + (3/10) ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
    = 3/10 ( x[ x{ x( -3/10 ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( x[ x{ 3/5( -3/10 ) +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
    = 3/10 ( x[ x{ -9/50 +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( x[ 3/5{ -9/50 +(81/10) } -(59/10) ] -(3/5) )
    = 3/10 ( x[ -27/250 +243/50 -(59/10) ] -(3/5) )

    = 3/10 ( 3/5[ -27/250 ) +243/50 -(59/10) ] -(3/5) )
    = 3/10 ( -81/1250 +729/250 -177/50 -(3/5) )

    = 3/10 ( -81/1250 +729/250 -177/50 ] -(3/5) )
    = -243/12 500 +2187/2500 -531/500 -9/50

    = -243/12 500 +10 935/12500 -13275/12500 -2250/12500
    = 10 935/12500 -15768/12500
    = 4833/12500
    = 0,38664


    Es sind also 6/10
    näher dran an Null
    als 3/10,
    da 0 < 0,38664 < |-0,4923|

    Wäre die nächste zu ratende Zahl
    etwas höher als 6/10?

    7/10?

    Oder 13/20?

    [HR][/HR]

    Ich hab jetzt nochmal 13/21 ausprobiert:


    x = 13/21

    Probe in Ausgangsgleichung:

    f(x) = -(3/10)(13/21)4+(9/100)(13/21)3+(243/100)(13/21)2-(177/100)(13/21)-(9/50)

    f(x) rund -0,04405726 +0,021350826 +0,931224489 – 1,095714286 – 9/50

    f(x) ≈ -0,36719583


    Es sind also 13/21
    näher dran an Null
    als 6/10,
    da 0,38664 > |-0,36719583| > 0

    3 Mal editiert, zuletzt von qweet (13. August 2013 um 18:30)

    Das, was du hier als Lösung anbietest, ist nichts anderes als Stochern im Nebel?
    Das ist doch keine seriöse Lösung, sondern Rumraterei. Was soll das?

    Zitat von Olivius

    Das würde mich sehr interessieren, was das für ein neues Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ist: Könntest du die Lösung vielleicht mal hier darstellen?

    Ich war gerade Feuer und Flamme und hatte diese Idee mit der Substitution, da die Subtraktion auch nach mehreren Malen nicht funktioniert hat... Aber für eine Substitution hab ich zu viele Glieder, die ein x kleiner als x² haben, und somit nicht zu meinem "Befehl" x²=z passt.
    Die Substitution würde aber an einer "idealen" Gleichung so aussehen:

    f(x)= x^4 - 8*x² +16 / Substitution x²=z (Für alle x² schreibe ich nun z, bzw. bei x^4 schreibe ich z²
    = z² - 8z + 16 = 0 / pq-Formel (Die pq Formel im allgemein: -(p/2) +/- Wurzel aus ((p/2)² - q)
    z1,2 = 4 +/- Wurzel aus (16-16) (Hier hab ich die pq-Formel schon so weit es geht vereinfacht)
    z1 = 4 / Wurzel zur Resubstitution (Laut Befehl ist z=Wurzel aus x, also muss hier resubstituiert werden)
    Betrag von x = 2 -> x1= -2 und x2 = 2

    Eine Lösung zu meiner ursprünglichen Gleichung hab ich zwar nicht, aber ich hab das Prinzip jetzt weitesgehend verstanden, und darum geht es ja auch ;) Vielen Dank nochmal für die ganzen Antworten!
    LG

    • Offizieller Beitrag

    Danke für deine Darstellung: Es ist richtig, die Substitutionsmethode funktioniert hier nicht, weil du keine reine biquadratische Gleichung hast. Es gibt hier nur die Möglichkeit der Lösung einer Gleichung 4. Grades, die ziemlich kompliziert ist und in der Schule im Allgemeinen nicht gelehrt wird. Aus diesem Grunde verstehe ich nicht, warum hier eine exakte Rechnung verlangt wird: Zeitsparend ist die Lösung mit Hilfe eines Programms.

    Zitat von Lottospieler

    Das,
    was du hier als Lösung anbietest,
    ist nichts anderes
    als Stochern im Nebel?

    Das ist doch keine seriöse Lösung,
    sondern Rumraterei.

    Was soll das?

    Du hast Recht.

    Ich habe herumgeraten
    und ich habe im Nebel gestochert. ;)

    Doch manchmal führt das Stochern im Nebel
    zur richtigen Lösung.

    Ich stell mir da ein Schiff vor
    das im dichten Nebel
    irgendwo langmanövrieren muss.

    Welcher Kurs ist nun der Richtige?