Ganz dringend!

Unregistriert

Also, ich hab versucht, es selber zu rechnen, aber es will einfach nicht klappen;

Susanne kriegt von ihren Eltern 400 Euro, die sie anlegen soll. Die Folgenden zwei Jahre bekommt sie jeweils 100 Euro. Am Ende des dritten Jahres geht sie zur Bank, und stellt fest, dass ihr Kontostand 636, 64 ist. Man geht davon aus, dass der Zinssatz regelmäßig ist. Also welchen Zinssatz hat sie?

Meine Rechnung:

Z=(K*P*t)/100

(Umformen...)

p=(z*100)/(k*t)

(Zahlen einsetzten...)

P=(36,64*100) / (600*3)=3664/1800=2,04%

(Kontrolle!)

Z1: (400*2,04) /100=8,16
Z2: (508,16*2,04) /100= 10,37
Z3: (618,53*2,04) /100= 12,62

Zinsen zusammen: 33,85(36,64? :`()

Olivius

Da die Zinsen hier nicht am Ende des Jahres abgeholt, sondern im folgenden Jahr wieder mitverszinst werden, handelt es sich hier um Zinseszinseffekte. Da kannst du nicht mit der einfachen Zinsformel rechnen.

Das Kapital von 400 € wird ein Jahr lang verzinst; die erwirtschafteten Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen, ferner wird das Kapital um 100 € erhöht und dann wieder verzinst.

Der Zinssatz sei p.

Am Ende des ersten Jahres hast du ein Kapital von 400 + 4p.

Am Ende des zweiten Jahres beträgt das Kapital dann

[TEX]500 + 4p + \frac{(400 + 4p + 100)*p}{100}[/TEX]

Am Ende des dritten Jahres:

[TEX]600 + 9p + 0,04p^2 +6p + 0,09p^2 +0,0004p^3[/TEX]

Das entspricht dann 636,64 €.

600 + 15p + 0,13p² + 0,0004p³ = 636,64

Diese kubische Gleichung ist zu lösen.

0,4p³ + 130p² +15 000p -36 640 = 0

p³ +325p² +37500p - 91600 = 0

Lösung: p = 2,39269

Der gesuchte Zinssatz beträgt 2,4 %.

Unregistriert

Wir hatten mal in Mathe die Zinseszinsformel Kn=Ko * q^n

Wenn Susanne von Anfang an 600 Euro hätte, wäre es ganz einfach:

636,64€ = 600€ * q^3

Kann man die Formel auch benutzen, wenn sie wie in der Aufgabe jedes Jahr 100 € dazubekommt?

636,63€ = 400€*q^3+100€*q^2+100€*q ???

Olivius

Das ist in der Tat die einfachere Variante!
Wobei q dann der Wachstumsfaktor ist, nämlich (1+ p/100) nicht der Zinssatz.

Die Lösung deiner Gleichung ergibt denselben Wert wie oben: 1,0239

Das bedeutet: Zinssatz = 2,39%

Unregistriert

Zitat von Olivius

Das ist in der Tat die einfachere Variante!
Wobei q dann der Wachstumsfaktor ist, nämlich (1+ p/100) nicht der Zinssatz.

Die Lösung deiner Gleichung ergibt denselben Wert wie oben: 1,0239

Das bedeutet: Zinssatz = 2,39%

OK, aber kannst du die Gleichung mal auflösen?

Normalerweise nehme ich die n-te Wurzel je nach der Anlegezeit, aber jetzt habe ich ja drei Jahre.

Olivius

Da hilft dir die dritte Wurzel nicht viel!

400q³ +100q²+ 100q - 636,64 = 0

ist eine kubische Gleichung, die nicht mit der dritten Wurzel zu lösen ist.

Umformen zu.

q³ + 0,25q² + 0,25g - 1,5916 = 0

Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten zur Lösung:

a) Formel zur kubischen Gleichung

b) Annäherungsverfahren (Regula falsi oder Newton-Verfahren)

c) Zeichnerische Lösung

d) Rechner (Grahischer Taschenrechner oder Rechner im Netz)

Letzteres habe ich verwandt.

Unregistriert

Kann so eine Aufgabe in der Mathe-Klausur drankommen?

Wenn ja, was mach ich dann?

qweet

q³ + 0,25q² + 0,25q - 1,5916 = 0

q³ + 0,25q² + 0,25q = +1,5916

(q² + 0,25q + 0,25)q = +1,5916

((q + 0,25)q + 0,25)q = +1,5916

q = 0

0 = +1,5916 falsche Aussage.

q = 1

1,5625 = 1,5916 falsche Aussage.

Ich gestehe,
dass ich beim Funktionsplotter
nachgeschaut habe.

Die Lösung ist also
q = 1 + x

wobei x ≈ 0,01 sein dürfte.

Das ist nicht exakt,
doch du kannst die Lösung so
annähernd bestimmen,
falls du grad nichts besseres weißt.

Dazu setzt du für q
halt ein paar Zahlen ein.

In dieser Aufgabe wären sinnvolle Zahlen,
m. E.:
q = 1

q = -0,25

q = -1

Du würdest also etwas raten.

Wobei ich denke,
dass die 1 eine gute Zahl
für den Start ist.

[HR][/HR]

Die Gleichung in anderer Form:

400q³ +100q²+ 100q - 636,64 = 0

100q³ +25q²+25q – 159,16 = 0

100q³ +25q²+25q = + 159,16

(100q² +25q+25)q = + 159,16

((100q +25)q+25)q = + 159,16

Schritt 1

q = 1

((125)1+25)1
= 150

150 = 159,16 falsche Aussage

Schritt 2

q = 1,01

((126)1,01+25)1,01
≈ 153,78

153,78 = 159,16 falsche Aussage

Schritt 3

q = 1,019

((126,9)1,019+25)1,019
≈ 157,24

157,24 = 159,16 falsche Aussage

Unregistriert

Sag mal, was soll diese UNSINNIGE Rechnerei???

Das hilft niemandem!

Unregistriert

Zitat von Unregistriert

Sag mal, was soll diese UNSINNIGE Rechnerei???

Das hilft niemandem!

Machs selbst! Sei doch lieber froh, dass Dir jemand hilft!

Unregistriert

Zitat von Unregistriert

Machs selbst! Sei doch lieber froh, dass Dir jemand hilft!

Ich hab das gar nicht geschrieben, das war jemand anderes.

Deine Rechnerei scheint mir aber wirklich unsinnig zu sein.

Olivius

Da hier mit q der Wachstumsfaktor berechnet wird, nutzt ein Näherungswert von 1 überhaupt nicht. Ob es sinnvoll ist, genauere Ergebnisse durch Probieren zu finden, bezweifel ich.

Die Lösungsformel für kubische Gleichungen wird normalerweise in den Schulen nicht gelehrt. Du kannst sie Formelsammlungen oder entsprechenden Seiten im Netz entnehmen.

Wenn solche Gleichungen in der Klausur vorkommen, sollte vorher eine Strategie bekannt gemacht worden sein, wie man zur Lösung der Gleichung kommt.

Ein einfaches Verfahren ist der Einsatz eines GTR.

Hier am Beispiel des Casio fx-991 ES

Mode 5 (EQN) ---> 4 ---> Dann Eingabe der Koeffizienten ---> a = 1 (danach Gleichheitszeichen drücken!) ---> 0,25 (=) ---->0,25 (=) ----> -1,5916 (=) = 1,023926852

Ergebnis mit hinreichender Genauigkeit.

qweet

Zitat von Olivius

Da hier mit q der Wachstumsfaktor berechnet wird,
nutzt ein Näherungswert von 1
überhaupt nicht.

Ob es sinnvoll ist,
genauere Ergebnisse durch Probieren zu finden,
bezweifel ich.

[...]

Ok, da hast du natürlich Recht.

Ich muss auch gestehen,
dass ich den oberen Teil der Aufgabe
gar nicht mehr so wahrgenommen habe,
sondern mich halt nur auf die kubische Gleichung bezog.

Genauere Ergebnisse durch Probieren zu finden,
ist jedoch 1 Möglichkeit.

Kann man machen.

Ob man es tun möchte
oder eine andere Möglichkeit wählt,
bleibt einem doch selbst überlassen.

Olivius

@queet

Ja, kann man machen, ist eine Möglichkeit. Ob sie jemandem hilft, der in einer Klausur unter Zeitdruck steckt, ist eine andere Frage. Daher sollte vorab geklärt werden, wie man an solche Lösungen herangeht.

Wenn der Fragesteller sich mit der Differentialrechnung auskennt, wäre das Newton-Verfahren auch noch geeignet, zu einer adäquaten Lösung zu kommen, denn bereits nach der ersten Näherung mit dem Startwert 1 ergibt sich ein angenäherter Wert von x2 = 1,0244, der m. E. vollkommen ausreicht.

qweet

Zitat von Olivius

@queet

Ja, kann man machen, ist eine Möglichkeit.

Ob sie jemandem hilft,
der in einer Klausur unter Zeitdruck steckt,
ist eine andere Frage.

Daher sollte vorab geklärt werden,
wie man an solche Lösungen herangeht.

Vollkommen richtig.

Die Zeit,
also der Lauf der Sonne,
ist eine wichtige Größe,
die es zu beachten gilt.

Das schöne an der Mathematik ist ja,
dass es verschiedene Wege gibt.

Jeder soll den wählen,
der am günstigsten erscheint.

Zitat von Olivius

Wenn der Fragesteller sich mit der Differentialrechnung auskennt,
wäre das Newton-Verfahren
auch noch geeignet,
zu einer adäquaten Lösung zu kommen,
denn bereits nach der ersten Näherung
mit dem Startwert 1
ergibt sich ein angenäherter Wert
von x2 = 1,0244,
der m. E. vollkommen ausreicht.

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Die Ausgangsgleichung war:

400q³ +100q² 100q -636,64 = 0

für q = 1,0244 eingesetzt:

400 (1,0244)³ + 100 (1,0244)² + 100 (1,0244) - 636,64 = 0

430,0002 + 104,9395 + 102,44 - 636,64 = 0

0,7397 = 0

--

Mein vorgeschlagener Wert q = 1,019

400q³ +100q² 100q -636,64 = 0

für q = 1,019 eingesetzt:

400 (1,019)³ + 100 (1,019)² + 100 (1,019) - 636,64 = 0

430,2359 + 103,8361 + 101,9 - 636,64 = 0

-0,668 = 0

--

So stelle ich fest:

Ich liege näher an 0,
denn:

| -0,668 | < 0,7397

[HR][/HR]

Hmmm.

Mal zum Verständnis:

Wenn
1,019 zu niedrig ist
und
1,0244 zu hoch ist.

Dann müsste doch die Lösung
dazwischen liegen, oder?

[HR][/HR]

So und jetzt hab ich die Funktion
mal plotten lassen,
an ihrer Nullstelle:

Es ist ersichtlich,
dass q = 1,0244
nicht richtig ist.

Was jedoch auch ersichtlich ist,
ist dass q = 1,019
eben noch viel falscher ist.

Damit ist das Newton-Verfahren
doch besser geeignet
um sich der Lösung zu nähern.

Andererseits könnte man ja auch aus Spaß
mal 60 Minuten lang
Zahlen raten.

Die Frage ist desweiteren,
ob bei der Kontrolle der Klausur
jede Funktion grafisch gezeichnet
und so kontrolliert wird.

Falls nämlich nur gerechnet wird,
würde man mit 1,019 sich der 0 mehr nähern
als mit 1,0244.

Als Prüfling ist man also angeschissen,
weil die Zeit ist ja wohl
auf Seiten der Kontrolleure.

Mist.

[HR][/HR]

Und weil das Newton-Verfahren
besser geeignet ist,
hier noch wie man auf
q = 1,0244 kommt:

Laut Wikipedia ist die Vorschrift:

Zitat von Wikipedia: Newton-Verfahren

[...]

Formal ausgedrückt
wird die folgende Vorschrift wiederholt,
bis eine hinreichende Genauigkeit
erzielt wurde:

[TEX]x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/TEX]

Angewendet auf das Beispiel wäre das also:

[TEX]q_{n+1} = q_n - \dfrac{f(q_n)}{f'(q_n)}[/TEX]

Die Funktion lautet:

f(q) = 400q³ +100q²+ 100q - 636,64

Ihre Ableitung ist:

f'(x) = 1200q² + 200q + 100

Damit ergibt sich für das Newton-Verfahren:

[TEX]q_{n+1} = q_n - \dfrac{400q^3+100q^2+100q-636,64}{1200q^2+200q+100}[/TEX]

[TEX]q_{n+1} = q_n - \dfrac{100(4q^3+q^2+q-6,3664)}{100(12q^2+2q+1)}[/TEX]

[TEX]q_{n+1} = q_n - \dfrac{4q^3+q^2+q-6,3664}{12q^2+2q+1}[/TEX]

Startwert n = 1

[TEX]q_{1+1} = 1 - \dfrac{4+1+1-6,3664}{12+2+1}[/TEX]

[TEX]q_{1+1} = 1,0244 [/tex]

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