Mindesthöhe der Tür des Turmes bestimmen (Extremwertproblem)

Am besten wäre eine Standard-Tür (2m) und eine zusammenschiebbare Leiter, denn sonst ist das eine echte Mathe-LK-Aufgabe (s.u.)

Also...
"Planfigur": Das eine Ende der Leiter liegt außerhalb des Turmes auf dem Boden auf (x Meter vom Turm entfernt), und das andere Ende im Turm gegenüber der Tür an der Turmwand (in der Höhe y Meter). Die Leiter berührt dann die Oberkante der Tür in der Höhe h Meter. Wenn die Tür nicht genau so gebogen ist wie der Turm, müsste man noch den tatsächlichen Abstand von der Tür-Oberkante bis zur gegenüber liegenden Turmwand wissen. Ich nehme dafür den Durchmesser 2,50 Meter an.
Ansatz:
Pythagoras: 6² = y² + (2,5+x)² -> [TEX]y = \sqrt{36 - (2,5+x)^2} = \sqrt{-x^2 -5x +29,75}[/TEX]
Strahlensatz: [TEX]\frac{h}{x} = \frac{y}{2,5+x} \rightarrow h = \frac{xy}{2,5+x} = \frac{x \cdot \sqrt{36 - (2,5+x)^2}}{2,5+x}[/TEX]
Bis dahin noch recht verständlich. Jetzt kommt das
Ableiten
und das hat's in sich: Kettenregel, Quotientenregel und Produktregel ineinander verschachtelt. Der Einfachheit halber lasse ich die Wurzel erstmal als "y" stehen.
[TEX]h'(x) = \frac{\left( 1 \cdot y + x \cdot \frac{1}{2y} \cdot (-2x-5) \right) \cdot (2,5+x) - x y \cdot 1}{(2,5+x)^2}[/TEX]
Wenn h'(x) = 0 gesetzt wird, braucht man nur den Zähler zu betrachten. Daher erweitere ich mit y, damit im Zähler die Wurzel verschwindet:
[TEX]h'(x) = \frac{\left( y^2 + \frac{x}{2} \cdot (-2x-5) \right) \cdot (2,5+x) -x y^2}{y \cdot (2,5+x)^2}[/TEX]
y² = -x² -5x +29,75
-> Zähler: (-x² -5x +29,75 -x² -2,5x)(2,5+x) - x(-x² -5x +29,75) = ... = -x³ -7,5x² -18,75x +74,375
Wenn man den Zähler als Funktion f betrachtet (z.B. mit GeoGebra), hat er nur eine Nullstelle und die ist nicht durch Raten rauszubekommen. Also geht nur das Newton'sche Näherungsverfahren ( x - f(x)/f'(x) rekursiv angewendet ). Da kommt dann
x = 1,9814... raus.
aus Pythagoras: y = 3,9896...
beides in die Gleichung für h einsetzen: h = 1,7639...