Kreisteile

1. offizieller Beitrag

    Hallo,
    ich schreibe am Montag eine Mathe Klassenarbeit und habe nun einige Übungsaufgaben von meinem Lehrer bekommen.
    Eine der Aufgaben verstehe ich nicht und deshalb hoffe ich, dass mir jemand helfen kann.

    1.
    Wie weit muss der Winkel [TEX]\alpha[/TEX] (Alpha) in der rechten Figur jeweils sein, damit die beiden markierten Flächen jeweils gleich groß sind?

    [Blockierte Grafik: http://i.imgur.com/pygmyZn.jpg]

    Ich bedanke mich für Antworten. :)

    Grundsätzlich geht das jeweils in 2 Schritten:
    1. Fläche der linken Figur berechnen
    2. Diese Fläche mit der Kreisausschnittformel für die rechte Figur gleichsetzen und nach Alpha auflösen.

    Als Beispiel nehme ich die dritte, wenn du das kapiert hast, kannst du die anderen beiden selber.
    1. Fläche links
    Radius des Kreis-Ausschnitts r:
    [TEX]r = \sqrt{a^2+(\frac{a}{3})^2} = \sqrt{\frac{10}{9}} \cdot a[/TEX]
    Winkel des Kreis-Ausschnitts Alpha:
    An 90° fehlen die beiden (gleichgroßen) weißen Stücke mit jeweils einem Winkel [TEX]\beta[/TEX], für den gilt:
    [TEX] tan(\beta) = \frac{a}{3} : a = \frac{1}{3}[/TEX]
    -> [TEX]\beta[/TEX] = 18,4°
    -> [TEX]\alpha[/TEX] = 90° - 2[TEX]\beta[/TEX] = 53,13°
    [TEX]A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot \frac{10}{9} a^2 \cdot \frac{53,13}{360} = 0,5152 a^2[/TEX]
    2. Alpha rechts
    [TEX]A = \pi \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot \frac{\alpha}{360} = \pi \cdot \frac{10}{9} a^2 \cdot \frac{53,13}{360} | :\pi a^2 \cdot 360[/TEX]
    [TEX] \frac{1}{4} \alpha = \frac{10}{9} \cdot 53,13° | \cdot 4[/TEX]
    [TEX] \alpha = \frac{40}{9} \cdot 53,13 = 236,1°[/TEX]

    Es ist schon etwas älter, aber ich höffe ich bekomm trotzdem eine Antwort.
    Wie kommt man aud Radius wurzel 10/9 a²