Wahrscheinlichkeit-Gewinn auf lange Sicht

Zitat von PieceOfCrazy

,,Beim Glücksspiel ,,die magische Vier"
wirft ein Spieler gleichzeitig zwei Spielwürfel.

Fällt dabei keine vier,
muss er 1 Euro zahlen,
andernfalls erhält er für jede geworfene vier 2 euro.

Frage: welchen Gewinn erzielt man im Durchschnitt
auf lange Sicht pro Spiel?

Wie sieht es denn auf kurze Sicht aus?

Ich betrachte beide Würfel
unabhängig voneinander
und jetzt nur einen.

Die Wahrscheinlichkeit,
dass eine Vier fällt,
beträgt 1/6.

Dass keine Vier fällt,
ist zu 5/6 wahrscheinlich.

Ich kann 2x hintereinander keine Vier würfeln,
sollte danach aber eine Vier würfeln,
um wenigstens keinen Verlust zu machen.

2 mal hintereinander würfeln,
ist eine Wahrscheinlichkeit von:

[TEX]\dfrac{5}{6} * \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}[/TEX]

[TEX]\dfrac{25}{36} = 69, \bar 4 \ \%[/TEX]

3 mal hintereinander würfeln,
ist eine Wahrscheinlichkeit von:

[TEX]\dfrac{5}{6} * \dfrac{5}{6} * \dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{216}[/TEX]

[TEX]\dfrac{125}{216} = 57,78 \ \%[/TEX]

Es ist also schonmal wahrscheinlicher,
dass ich 3 mal hintereinander
keine Vier würfele
und damit schon 3 Euro in den Miesen stehe.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ich 2mal keine Vier
und dann oh welches Glück
eine Vier würfele?

[TEX]\dfrac{5}{6} * \dfrac{5}{6} * \dfrac{1}{6} = \dfrac{25}{216}[/TEX]

[TEX]\dfrac{25}{216} = 11,574 \ \%[/TEX]

Von diesem "Spiel"
würde ich die Finger lassen.

Wenn irgendwo steht "auf lange Sicht" dann heißt das immer unendlich viele Ereignisse. Die Anzahl der Würfe ist aber nur dann interessant, wenn es sich um abhängige Ereignisse handelt. Bei Würfeln sind die Ereignisse immer unabhängig und damit ist die "Wahrscheinlichkeit auf lange Sicht" immer gleich der Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen Wurf.

Es gibt bei zwei Würfeln immer 36 mögliche Würfelergebnisse. Davon sind 10 mit einer vier und eins mit zwei vieren und 25 ohne eine vier. Den zu erwartenden Gewinn pro Wurf kann man durch eine gewichtete Summe ermitteln, indem man die Höhe der Gewinne für jedes Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gewichtet:

[tex]\frac{1}{36}\cdot 4+\frac{10}{36}\cdot 2+\frac{25}{36}\cdot -1=\frac{4+20-25}{36}=-\frac{1}{36}[/tex]

Das ist, auf lange Sicht, der Gewinn pro Wurf in Euro, der sich hier als Verlust herausstellt.

Zitat

Die Anzahl der Würfe ist aber nur dann interessant,
wenn es sich um abhängige Ereignisse handelt.

Da lag ich wohl daneben. Mist.

(Hab mir so gedacht, naja,
dass 2 Vieren hintereinander geworfen werden,
ist doch unwahrscheinlicher,
als dass z. B. mal eine 3,
mal eine 5 geworfen wird.

Also muss es doch
irgendwie
zusammenhängen.

Egal. )

Ich hab mir dann auch noch gedacht,
dass ich wenn ich nur mit einem Würfel werfe,
ja 5 mal 1 Euro Verlust hab
und nur 2 Euro Gewinn.

Also 3 Euro Minus.

Und wenn ich das mit 2 Würfeln mache,
verdoppelt sich das doch.

Finger weg!