Integral

    Zitat

    a) Interpretieren Sie
    den zeitlichen Verlauf
    der Änderungsrate.

    Nach rund 35 Tagen
    hat sich die Zahl der befallenen Computer
    um 10.000 geändert.

    Nach 80 Tagen
    hat sich die Zahl der befallenen Computer
    um 28.000 geändert.

    100.000 - 72.000 = 28.000

    100.000 Computer wurden infiziert,
    davon wurden jedoch 72.000 bereinigt.

    Die Zahl der befallenen Computer hat sich also
    um 28.000 geändert. (Vergrößert).

    Das war am achzigsten Tag.

    Nach 120 Tagen
    werden genau so viele Computer infiziert
    wie sie bereinigt werden.

    Und darauffolgend später
    werden mehr Computer bereinigt
    als neu infiziert.

    Zitat

    c) Bestimmen Sie eine Funktion,
    die es Ihnen erlaubt,
    die Anzahl der infizierten Computer
    für beliebige Zeiten zu berechnen.

    Man könnte jetzt erstmal gedanklich
    den Graphen tagweise durchgehen.

    Zum Beispiel bis Tag 20.

    Jeden Tag erhöht sich die Anzahl
    der infizierten Computer.

    Wenn ich einen konkreten Tag herausnehme
    dann ist das ein Strich von der x-Achse
    bis zum Graphen.

    Alle diese Striche addiert
    ergeben eine Fläche.

    In meinem Fall in den Grenzen von 0 bis 20.

    Dazu also die Integralrechnung.

    Also folgende Formel:

    [TEX]\int^{20}_0 - \dfrac{1}{10.000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \ dx[/TEX]

    Bilde das Integral der Funktion nach dx
    in den Grenzen von 0 bis 20.

    Dazu muss von der Funktion
    die Stammfunktion gebildet werden.

    Auch das ist nicht so schwierig:

    [TEX]F(x) =- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{3+1}}{3+1} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{2+1}}{2+1}[/TEX]

    [TEX]F(x) =- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3}[/TEX]

    Und ich darf auch
    anstatt der Formel mit dem Integralzeichen,
    das Gleiche mit der Stammfunktion ausdrücken:

    [TEX]\left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3} \right ]^{20}_0[/TEX]

    In meinem gewählten Beispiel wäre das also:

    [TEX]\int^{20}_0 f(x) \ dx = \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{20^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{20^{3}}{3} \right ] - \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{0^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{0^{3}}{3} \right ][/TEX]

    [TEX]\int^{20}_0 f(x) \ dx = [-4 +32] - [0][/TEX]

    [TEX]
    \int^{20}_0 f(x) \ dx = 28[/TEX]

    Nach 20 Tagen
    wären also 28.000 Computer infiziert.

    Die allgemeine Formel lautet also:

    [TEX]\int^{n}_0 - \dfrac{1}{10.000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \ dx = \left [- \dfrac{1}{10.000} * \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{3}{250} * \dfrac{x^{3}}{3} \right ]^{n}_0[/TEX]

    Zitat

    b)
    Beschreiben Sie durch eine Skizze
    den zeitlichen Verlauf
    der Anzahl der aktuell infizierten Computer

    Ich nehm aktuell mit 120 Tagen an
    und ich beschreib es durch ein Diagramm.

    Die exakten Werte:

    [table='width: 400, class: grid, align: left']

    [tr][td]

    Zeit in Tagen

    [/td][td]

    Anzahl infizierter Computer in Tausend

    [/td][/tr][tr][td]

    20

    [/td][td]

    28

    [/td][/tr][tr][td]

    40

    [/td][td]

    106

    [/td][/tr][tr][td]

    60

    [/td][td]

    540

    [/td][/tr][tr][td]

    80

    [/td][td]

    1.024

    [/td][/tr][tr][td]

    100

    [/td][td]

    1.500

    [/td][/tr][tr][td]

    120

    [/td][td]

    1.728

    [/td][/tr]


    [/table]


    25 Mal editiert, zuletzt von qweet (16. März 2013 um 12:06)

    Eine Änderungsrate ist ja die anschauliche Bedeutung der Ableitung, d.h. f(x) ist die Ableitung der Anzahl infizierter Computer. Die Stammfunktion von f(x) wäre also die Anzahl der infizierten Computer:
    F(x) = -1/40000 x⁴ + 1/250 x³ + C
    Das C ist eine beliebige Zahl, das Problem startet ja immmer mit 1 verseuchtem Computer. Auch wenn der Virenprogrammierer sein Virus auf 10 oder 100 Computer verteilt, ist die Zahl gegenüber den Tausenden in der Statistik unbedeutend, weswegen wir auch C=0 annehmen können.

    d) Maximum -> Ableitung = 0 . In der Skizze sieht man, dass die Nullstelle von f(x) bei etwa 120 sein muss. Setzt du x=120 ein, stellst du fest, dass es sogar genau 120 ist.
    F(120) = 1728 , d.h. nach 120 Tagen ist die maximale Anzahl von PCs verseucht, nämlich 1728000 Stück.

    e) Unsinnig sind negative Zeiten (x<0) oder negative Anzahlen (F(x)<0). Da wir eh nur mit x>0 arbeiten, suchen wir die Nullstellen von F(x):
    0 = -1/40000 x⁴ + 1/250 x³ = -1/40000 x³ (x - 160) -> NSt.: 0 und 160
    Realistisch ist aber auch, dass der Virus evtl. nicht ganz ausgerottet wird, d.h. der sinnvolle Zeitraum ist vielleicht nur bis x=159 oder x=158.